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| Aufgabe | Bestimmen sie den Grenzwert der Reihe:
a)
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{((-1)^n + 2)}{(n+1)!}
[/mm]
b) [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{2^n - 3^n}{(2^2)^n} [/mm] |
Das einzige Verfahren, das wir kennegelernt haben ist die Partialbruchzerlegung. Wir kommen damit bei b) jedoch nicht weiter. Gibt's es ein anderes Verfahren (wir sind im 1. Semester!!!)?
Wir haben versucht, b) umzuformen und erhielten:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{2^n} [/mm] - [mm] \bruch{3^n}{4^n}
[/mm]
Bringt uns diese "Stelle" für die Bestimmung des Limes weiter?
Danke im voraus...
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Hallo Doc,
> Bestimmen sie den Grenzwert der Reihe:
>
> a)
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{((-1)^n + 2)}{(n+1)!}[/mm]
>
> b) [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{2^n - 3^n}{(2^2)^n}[/mm]
> Das
> einzige Verfahren, das wir kennegelernt haben ist die
> Partialbruchzerlegung. Wir kommen damit bei b) jedoch nicht
> weiter. Gibt's es ein anderes Verfahren (wir sind im 1.
> Semester!!!)?
Ja, du kannst - wie du auch schon bei (b) angesetzt hast - die Reihen versuchen umzuformen und auf bekannte Reihen, deren GW du kennst, zurückführen
> Wir haben versucht, b) umzuformen und erhielten:
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{2^n}[/mm] - [mm]\bruch{3^n}{4^n}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Weil beide Reihen, [mm] $\sum\limits_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^n$ [/mm] und [mm] $\sum\limits_{n=0}^{\infty}\left(\frac{3}{4}\right)^n$ [/mm] absolut konvergent sind, darfst du deine Ausgangsreihe "auseinanderziehen"
Es gilt für absolut konvergente Reihen [mm] $\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n$ [/mm] und [mm] $\sum\limits_{n=0}^{\infty}b_n$ [/mm] mit [mm] $\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n [/mm] \ = \ a$ und [mm] $\sum\limits_{n=0}^{\infty}b_n [/mm] \ = \ b$, dass [mm] $\sum\limits_{n=0}^{\infty}(a_n+b_n)$ [/mm] absolut konvergent ist mit [mm] $\sum\limits_{n=0}^{\infty}(a_n+b_n) [/mm] \ = \ a+b$
Du zäumst also hier bei den Rechnungen das Pferd quasi von hinten auf.
Wegen der absoluten Konvergenz der Teilreihen mit den (noch zu berechnenden) "Teilgrenzwerten" ist auch die Summe der Teilreihen (also genau die Ausgangsreihe) konvergent mit GW=Summe der GW der Teilreihen
[mm] $\sum\limits_{n=0}^{\infty}\left(\left(\frac{1}{2}\right)^n-\left(\frac{3}{4}\right)^n\right)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^n [/mm] \ - \ [mm] \sum\limits_{n=0}^{\infty}\left(\frac{3}{4}\right)^n$
[/mm]
Und die GWe dieser beiden Reihen kennst du ganz sicher ... denke an die geometr. Reihe
> Bringt uns diese "Stelle" für die Bestimmung des Limes
> weiter?
Auf jeden Fall 
> Danke im voraus...
>
bei der (a) ist es ein bisschen mehr Fiddelei:
Forme auch da zuerst mal um:
[mm] $\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n+2}{(n+1)!}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\left(\frac{(-1)^n}{(n+1)!}+\frac{2}{(n+1)!}\right)$
[/mm]
Nun schau dir wieder die beiden "Teilreihen" an:
[mm] $\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(n+1)!}$ [/mm] und [mm] $\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{2}{(n+1)!}$
[/mm]
Hier denke an die Exponentialreihe (, die ja absolut konvergent ist) [mm] $\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\cdot{}\blue{x}^n [/mm] \ = \ [mm] e^{\blue{x}}$
[/mm]
Trickse ein bisschen mit ner Indexverschiebung rum:
Ich mach's mal für die erste "Teilreihe"
Da erhöhe ich den Laufindex n um 1 und gleiche es aus, indem ich n in der Summe um 1 erniedrige:
Also [mm] $\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(n+1)!}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n!}$
[/mm]
Das ein bissl umformen: [mm] $=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n\cdot{}(-1)}{n!}=(-1)\cdot{}\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!}=...$
[/mm]
Nun kannst du mit dem Blick auf die obige Exponentialreihe den GW dieser "Teilreihe" angeben, oder? Bedenke, dass hier der Laufindex bei 1 beginnt, bei der Exponentialreihe aber bei 0, das musst du bei der Berechnung des GW berücksichtigen
Hoffe, es klappt damit 
LG
schachuzipus
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| Aufgabe | | Bei b) bekomme ich einen Grenzwert von -2 raus. Ist das richtig? |
Danke.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:56 Mo 19.05.2008 | | Autor: | fred97 |
Die Reihe in b) ist die Differenz zweier konvergenter geometrischer Reihen.
FRED
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| Aufgabe | | Ich weiß, ich erhalte da durch die Grenzwertformel der geometrischen Reihe von [mm] (1/2)^n [/mm] 2 und von [mm] (3/4)^n [/mm] 4. Ist das dann richtig, dass ich 2 - 4 rechne? Denn ich erhalte somit -2 (also etwas negatives) als Grenzwert? |
Danke.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:32 Mo 19.05.2008 | | Autor: | fred97 |
Ja
FRED
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