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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:28 Mi 11.06.2008 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie den Grenzwert der Funktion f(x) = [mm] \bruch{(x²-1)(x+3)}{(x+1)(x-3)} [/mm] für x -> 0 |
Hallo Zusammen,
also der Grenzwert für x -> 0, somit
[mm] \lim_{x \to \ 0}\bruch{(x²-1)(x+3)}{(x+1)(x-3)} [/mm] = [mm] \lim_{x \to \ 0}\bruch{x(x-\bruch{1}{x})\cdot{} x(1+\bruch{3}{x})}{x(1+\bruch{1}{x})\cdot{} x(1-\bruch{3}{x})} [/mm] = [mm] \lim_{x \to \ 0}\bruch{(x-\bruch{1}{x})\cdot{} (1+\bruch{3}{x})}{(1+\bruch{1}{x})\cdot{} (1-\bruch{3}{x})} [/mm] = [mm] \bruch{\lim_{x \to \ 0}(x-\bruch{1}{x})\cdot{} \lim_{x \to \ 0}(1+\bruch{3}{x})}{\lim_{x \to \ 0}(1+\bruch{1}{x})\cdot{} \lim_{x \to \ 0}(1-\bruch{3}{x})} [/mm] = [mm] \bruch{(0-\infty)(1+\infty)}{(1+\infty)(1-\infty)} [/mm] = [mm] \bruch{-\infty}{-\infty} [/mm] = [mm] \infty
[/mm]
Jedoch soll 1 als Grenzwert rauskommen, was habe ich denn falsch gemacht? Bei den Grenzwertaufgaben komme ich einmal auf die Lösung und dann auch wieder nicht, eigentlich muss ich doch nur schauen, ob es sich bei der Grenzwertbetrachtung darum handelt, wie sich der Term verhält wenn der Nenner Null wird dann (x0-h bzw. x0+h) und wenn nicht so wie ich es oben gemacht habe, oder?
Danke,
itse
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:33 Mi 11.06.2008 | | Autor: | He_noch |
Ich versteh nicht, warum du da so viel rumrechnest.
setzt doch einfach für x Null ein, dann steht da -3/-3 = 1 als Grenzwert.
Übrigens ist [mm] \bruch{-\infty}{-\infty} \not= \infty [/mm] !!
Gruß He_noch
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:38 Mi 11.06.2008 | | Autor: | itse |
> Ich versteh nicht, warum du da so viel rumrechnest.
> setzt doch einfach für x Null ein, dann steht da -3/-3 = 1
> als Grenzwert.
Also kann man bei den Aufgaben, wo der Nenner nicht Null wird, den Wert für x einfach einsetzen und bei denen, wo der Nenner Null wird, muss man den links- und rechtsseitigen Grenzwert berechnen?
> Übrigens ist [mm]\bruch{-\infty}{-\infty} \not= \infty[/mm] !!
Da hab ich schon so viel gerechnet und am Schluss nicht mehr aufgepasst, natürlich ist dies dann:
[mm] \bruch{-\infty}{-\infty} [/mm] = 1
da ja im Zähler und Nenner immer das gleiche steht, somit stimmt dann meine obige Rechnung.
Gruß
itse
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(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 09:53 Mi 11.06.2008 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Tyskie,
So ist es aber ganz und gar nicht.
$ [mm] \bruch{\infty}{\infty} [/mm] $ ist überhaupt nicht definiert. Als Grenzwert kann der Bruch jeden beliebigen Wert von 0 bis [mm] \infty [/mm] annehmen. Es ist reiner Zufall, dass Eure "Rechnung" zum richtigen Grenzwert führt.
Gruß
Sigrid
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Hi itse,
Deine Rechnung stimmt bis auf dass [mm] \bruch{\infty}{\infty}=\red{1} [/mm] ist 
![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]") Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:49 Mi 11.06.2008 | | Autor: | itse |
Hallo,
was stimmt dann an meiner Rechnung nicht? Es müsste doch das gleiche rauskommen, wenn ich für einfach -1 einsetze also 1. Ich kann keinen Fehler finden. Am Schluss steht doch im Zähler und Nenner immer die gleiche Zahl, somit müsste doch 1 rauskommen?
Gruß
itse
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> Hallo,
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> was stimmt dann an meiner Rechnung nicht? Es müsste doch
> das gleiche rauskommen, wenn ich für einfach -1 einsetze
> also 1. Ich kann keinen Fehler finden. Am Schluss steht
> doch im Zähler und Nenner immer die gleiche Zahl, somit
> müsste doch 1 rauskommen?
>
> Gruß
> itse
Hi itse,
also zuerst: es macht nun wirklich einfach keinen Sinn,
den gegebenen Term, der in der Umgebung von x=0 absolut
problemlos (will sagen stetig) ist, so umzuformen, dass du
gerade diese [mm] \bruch{1}{x}-Terme [/mm] einführst, die ausgerechnet
an dieser Stelle undefiniert und unstetig sind.
Deine Umformungen sind soweit in Ordnung, wie du
die Limites noch nicht ausgerechnet hast. Sobald aber
Unendlichkeiten erscheinen, müsste man sich überlegen:
wie komme ich ohne sie aus ? Hier eben am besten, sie
gar nicht erst einzuführen...
LG
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![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
