Grenzwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:40 Mo 16.06.2008 | | Autor: | Owen |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte:
1. [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\wurzel{2x²+1}}{2x-1}
[/mm]
2. [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[x]{x²*lnx} [/mm] |
Hallo Leute,
nun, mit fehlt leider die Idee wie man generell vorgehen muss. Ich weiß nur, dass man das Ganze auf einen bekannten Grenzwert zurückführen muss, aber wie man dies hier macht, das weiß ich leider nicht.
Könnte mir jemand einen Tipp geben?
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Hallo!
> Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte:
> 1. [mm]a := \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\wurzel{2x²+1}}{2x-1}[/mm]
Du kannst ja mal den Ansatz [mm] \sqrt(a*a) [/mm] probieren! (Solange a mit Sicherheit positiv ist, ist das legitim)
> 2. [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[x]{x²*lnx}[/mm]
Wenn man solche "Potenzen" (=Wurzeln) hat, ist es ratsam, den Ansatz
[mm]f(x)^{g(x)}[/mm] = [mm]\left(e^{ln(f(x)}\right)^{g(x)}[/mm] = [mm]e^{g(x)*ln(f(x)}[/mm]
zu versuchen.
Es reicht dann, zunächst [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\left(g(x)*ln(f(x)\right) [/mm] zu bestimmen, da [mm] e^{...} [/mm] stetig ist.
Meist kann man dann auch [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\left(g(x)*ln(f(x)\right) [/mm] so umschreiben, dass man L'Hospital anwenden kann...
Probier mal!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:10 Mo 16.06.2008 | | Autor: | Owen |
Hallo, danke für deine Antwort.
Ich habe den ersten Ansatz [mm] \wurzel{a*a} [/mm] nicht ganz verstanden. Inwiefern hilft dieser Ansatz, bzw. wie ist er durchzuführen?
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Hallo!
Wenn
a := [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{\wurzel{2x²+1}}{2x-1} [/mm] > 0,
dann ist doch auch
a = [mm] \sqrt{a*a}
[/mm]
Wenn du das einsetzt:
a = [mm] \sqrt{\left(\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{\wurzel{2x²+1}}{2x-1}\right)*\left(\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{\wurzel{2x²+1}}{2x-1}\right)}
[/mm]
Nun Grenzwertsätze
= [mm] \sqrt{\limes_{x\rightarrow\infty} \left(\bruch{\wurzel{2x²+1}}{2x-1}\right)^{2}}
[/mm]
= [mm] \sqrt{\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{2x^{2}+1}{(2x-1)^{2}}}
[/mm]
Und das kann man denk ich leicht berechnen 
Stefan.
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Hallo Eugen,
bei (a) kannst du (auch) sehr gut mit der Regel von de l'Hôpital ansetzen, du hast ja bei direktem Grenzübergang den unbestimmten Ausdruck [mm] $\frac{\infty}{\infty}$
[/mm]
Damit bist du nach einer Anwendung und einer kleinen Umformung schon fertig 
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:26 Mo 16.06.2008 | | Autor: | Owen |
Hallo Schachuzipus, dieser Weg hört sich auch interessant an.
Ich versuche es mal: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\wurzel{2x²+1}}{2x-1} [/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{0,5(2x²+1)^{-0,5}*4x}{2}
[/mm]
So, nun muss ich hier wahrscheinlich umformen, denn ein weiteres mal wird l'hospital nicht funktionieren, wegen der 2 im Nenner.
Ich habe das Gefühl, dass der Ausdruck in der Klammer und der Exponent -0,5 sich irgendwie umformen lässt, jedoch kann ich mich nicht mehr an die Regel erinnern.
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Hallo nochmal,
> s.oben
> Hallo Schachuzipus, dieser Weg hört sich auch interessant
> an.
hehe, nett gesagt
> Ich versuche es mal: [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\wurzel{2x²+1}}{2x-1}[/mm]
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{0,5(2x²+1)^{-0,5}*4x}{2}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
das sieht gut aus
>
> So, nun muss ich hier wahrscheinlich umformen, denn ein
> weiteres mal wird l'hospital nicht funktionieren, wegen der
> 2 im Nenner.
> Ich habe das Gefühl, dass der Ausdruck in der Klammer und
> der Exponent -0,5 sich irgendwie umformen lässt, jedoch
> kann ich mich nicht mehr an die Regel erinnern.
Wenn du's etwas "sortierter" aufschreibst, siehst du's direkt.
Ausgehend von deiner Ableitung von Zähler und Nenner ist das:
[mm] $=\frac{4x}{2\sqrt{2x^2+1}\cdot{}2}=\frac{x}{\sqrt{2x^2+1}}$
[/mm]
Nun die von mir ganz oben erwähnte Umformung: Klammere in der Wurzel [mm] x^2 [/mm] aus und ziehe es raus, dann kannste es wegkürzen und dann endlich den Grenzübergang [mm] $x\to\infty$ [/mm] machen...
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:46 Mo 16.06.2008 | | Autor: | Owen |
Achso, ja alles klar, vielen Dank.
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