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Grenzwert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:39 Di 09.09.2008
Autor: tedd

Aufgabe
Bestimmen Sie folgenden Grenzwert:

[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{e^{\sqrt{x}}}{e^x} [/mm]

Und zwar kann ich ja schreiben...

[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{e^{\sqrt{x}}}{e^x} [/mm]

[mm] =\limes_{x\rightarrow\infty}e^{\sqrt{x}-x} [/mm]

Aber ich denke das bringt mich nicht wirklich weiter
Und Bernoulli/de L'Hospital ebenso wenig:

[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{e^{\sqrt{x}}}{e^x} [/mm]

[mm] =\bruch{\infty}{\infty} \to [/mm] Bernoulli/de L'Hospital

[mm] f(x)=e^{\sqrt{x}}=e^u [/mm]

[mm] u=\sqrt{x}=x^{\bruch{1}{2}} [/mm]

[mm] u'=\bruch{1}{2}*x^{-\bruch{1}{2}}=\bruch{1}{2*\sqrt{x}} [/mm]

[mm] f'(x)=\bruch{1}{2*\sqrt{x}}*e^{\sqrt{x}}=\bruch{e^{\sqrt{x}}}{2*\sqrt{x}} [/mm]

[mm] g(x)=e^x [/mm]

[mm] g'(x)=e^x [/mm]

[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{e^{\sqrt{x}}}{e^x} [/mm]

[mm] =\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{\bruch{e^{\sqrt{x}}}{2*\sqrt{x}}}{e^x} [/mm]

[mm] =\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{e^{\sqrt{x}}}{2*\sqrt{x}*e^x} [/mm]

[mm] =\bruch{\infty}{\infty} \to [/mm] Bernoulli/de L'Hospital

[mm] f(x)=e^{\sqrt{x}}=e^u [/mm]

[mm] u=x^{\bruch{1}{2}} [/mm]

[mm] u'=\bruch{1}{2}*x^{-bruch{1}{2}}=\bruch{1}{2*\sqrt{x}} [/mm]

[mm] f'(x)=\bruch{e^{\sqrt{x}}}{2*\sqrt{x}} [/mm]

[mm] g(x)=2*\sqrt{x}*e^x [/mm]

[mm] g'(x)=\bruch{e^x}{\sqrt{x}}+2*\sqrt{x}*e^x [/mm]

[mm] =\bruch{e^x+2*x*e^x}{sqrt{x}} [/mm]

[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{e^{\sqrt{x}}}{e^x} [/mm]

[mm] =\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{e^{\sqrt{x}}*\sqrt{x}}{2*\sqrt{x}*e^x*(1+2*x)} [/mm]

[mm] =\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{e^{\sqrt{x}}}{e^x*(2+4x)} [/mm]

[mm] =\bruch{\infty}{\infty} [/mm]

Wenn ich jetzt weider Bernoulli/de L'Hospital anwende komme ich glaube ich wieder auf [mm] \bruch{\infty}{\infty}, [/mm]
also führt das nicht wirklich zu einem Ergebnis...

Wie gehe ich hier jetzt vor, wenn ich nach n-maligem Anwenden von Bernoulli/de L'Hospital zu keinem Ergebnis komme?

Danke und Gruß,
tedd :-)

        
Bezug
Grenzwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:51 Di 09.09.2008
Autor: schachuzipus

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Hallo tedd,

ich glaube nicht, dass de l'Hôpital hier eine günstige Wahl ist.

Deine erste Idee ist da schon besser ;-)

Es ist ja $\frac{e^{\sqrt{x}}}{e^x}=e^{\sqrt{x}-x}$

Nun ist die Exponentialfunktion ja stetig, also picke dir mal den Exponenten

$\sqrt{x}-x$ heraus und betrachte $\lim\limits_{x\to\infty}(\sqrt{x}-x)$

Tipp dazu: erweitere mit $\blue{\sqrt{x}+x}$ ...

Den GW, den du dann bekommst, musst du dann in die e-Funktion packen, also $e^{GW}$

Wegen der Stetigkeit der e-Funktion ist $\lim\limits_{x\to\infty}\left(e^{\sqrt{x}-x}}\right)=e^{\lim\limits_{x\to\infty}(\sqrt{x}-x)}$


LG

schachuzipus

Bezug
                
Bezug
Grenzwert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:42 Di 09.09.2008
Autor: tedd

Hey schachuzipus,
danke für die Antwort...
Nun gut ich muss irgendwas falsch gemacht haben denn ich komm hier auch auf keinen bestimmten GW:


[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\sqrt{x}-x [/mm]

[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(\sqrt{x}-x)*(\sqrt{x}+x)}{\sqrt{x}+x} [/mm]

[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{x-x^2}{\sqrt{x}+x} [/mm]

Ich denke hier fehlt mir ein weiterer Shritt zur vereinfachung denn wenn ich Bernoulli/de L'hospital anwende komme ich wieder auf einen [mm] Grenzwert=\infty. [/mm]

Hmmm[keineahnung]

Gruß,
tedd

Bezug
                        
Bezug
Grenzwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:55 Di 09.09.2008
Autor: fred97


> Hey schachuzipus,
>  danke für die Antwort...
>  Nun gut ich muss irgendwas falsch gemacht haben denn ich
> komm hier auch auf keinen bestimmten GW:
>  
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\sqrt{x}-x[/mm]






Vielleicht ist es so besser:



[mm]\limes_{x\rightarrow\infty}(\sqrt{x}-x)[/mm]

= [mm]\limes_{t\rightarrow\infty}(t-t^2)[/mm] = - [mm] \infty. [/mm]

Das letzte "=" - Zeichen sieht man so: [mm] t-t^2 [/mm] ist eine nach unten geöffnete Parabel.





FRED







>  
> [mm]=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(\sqrt{x}-x)*(\sqrt{x}+x)}{\sqrt{x}+x}[/mm]
>  
> [mm]=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{x-x^2}{\sqrt{x}+x}[/mm]
>  
> Ich denke hier fehlt mir ein weiterer Shritt zur
> vereinfachung denn wenn ich Bernoulli/de L'hospital anwende
> komme ich wieder auf einen [mm]Grenzwert=\infty.[/mm]
>  
> Hmmm[keineahnung]
>  
> Gruß,
>  tedd


Bezug
                                
Bezug
Grenzwert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:03 Di 09.09.2008
Autor: tedd

Achso ja ich bin durch Bernoulli/de L'Hospital auch auf $ [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}(\sqrt{x}-x) $=-\infty [/mm] gekommen..

Also

[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}e^{\sqrt{x}-x} [/mm]

[mm] =\limes_{x\rightarrow\infty}e^{-\infty} [/mm]

[mm] =\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{1}{e^{\infty}} [/mm]

=0 ?

Der Grenzwert müsste stimmen.

Danke und Gruß,
tedd

Bezug
                                        
Bezug
Grenzwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:11 Di 09.09.2008
Autor: schachuzipus

Hallo tedd,

> Achso ja ich bin durch Bernoulli/de L'Hospital auch auf
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}(\sqrt{x}-x)[/mm][mm] =-\infty[/mm]
> gekommen..
>  
> Also
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}e^{\sqrt{x}-x}[/mm]
>  
> [mm]=\limes_{x\rightarrow\infty}e^{-\infty}[/mm]
>  
> [mm]=\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{1}{e^{\infty}}[/mm]
>  
> =0 ?

[daumenhoch]

>  
> Der Grenzwert müsste stimmen.

Ja, das tut er

Kurz zur Umformung bei deiner vorherigen Frage:

[mm] $\frac{x-x^2}{\sqrt{x}+x}=\frac{x\cdot{}(1-x)}{x\cdot{}\left(1+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)}$ [/mm]

x kürzen und [mm] $\lim\limits_{x\to\infty}$ [/mm] liefert [mm] $\frac{-\infty}{1}=-\infty$ [/mm]


>  
> Danke und Gruß,
>  tedd


LG

schachuzipus

Bezug
                                                
Bezug
Grenzwert: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:31 Di 09.09.2008
Autor: tedd

Hey schachuzipus,
Danke für den Tip!

Ich hatte x ausklammern probiert aber wusste nicht wie ich das im Nenner hinkriege aber ist ja jetzt klar!

[mm] (x+\sqrt{x})=x*(1+\bruch{1}{\sqrt{x}}) [/mm]

denn [mm] \bruch{x}{\sqrt{x}}=\bruch{x^1}{x^{\bruch{1}{2}}}=x^1*x^{-\bruch{1}{2}}=x^{1-\bruch{1}{2}}=x^{\bruch{1}{2}}=\sqrt{x} [/mm]

[lichtaufgegangen]

Dann wäre die Aufgabe doch eigentlich geklärt.

Danke und Gruß,
tedd

Bezug
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