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Hallo, wünsche zuerst mal allen hier im Forum ein gutes neues.
Dann ich ein ekurze frage zu folgendem grenzwert :
$ [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} k\cdot{}(1-\wurzel{1-\bruch{1}{k}}) [/mm] $ ohne Hospital.
Rauskommt 1/2 aber weiß leider partou nicht wie. Bitte um hilfe.
Grüße
Ich habe diese Frage in keinem anderen Fourm gestellt
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> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} k\cdot{}(1-\wurzel{1-\bruch{1}{k}})[/mm]
Hallo,
ich würde aus der Klammer erstmal [mm] \wurzel{\bruch{1}{k}} [/mm] herausziehen.
Danach sieht "man" dann, wie es weitergehen kann: mit einem Standard"trick".
Gruß v. Angela
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Ich hätte eher mit [mm] (1+\wurzel{1-\bruch{1}{k}}) [/mm] erweitertm brint mir aber auch nix.
Wenn ich [mm] \wurzel{\bruch{1}{k}} [/mm] ausklammer steht dann doch da:
[mm] k*\wurzel{\bruch{1}{k}} *(\bruch{1}{\wurzel{\bruch{1}{k}}}-\bruch{\wurzel{1-\bruch{1}{k}}}{\wurzel{\bruch{1}{k}} })
[/mm]
Was hat mir das gebracht?
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> Ich hätte eher mit [mm](1+\wurzel{1-\bruch{1}{k}})[/mm] erweitertm
> brint mir aber auch nix.
Doch, das entspricht vom Effekt her meinem Vorschlag und ist genau die richtig Idee.
Was hast Du denn dann dastehen?
(Ich glaube, bei Dir scheitert#s im Moment eher an der Bruch- als an der Grenzwertberechnung.)
> Wenn ich [mm]\wurzel{\bruch{1}{k}}[/mm] ausklammer steht dann doch
> da:
>
> [mm]k*\wurzel{\bruch{1}{k}} *(\bruch{1}{\wurzel{\bruch{1}{k}}}-\bruch{\wurzel{1-\bruch{1}{k}}}{\wurzel{\bruch{1}{k}} })[/mm]
>
> Was hat mir das gebracht?
...= [mm] \wurzel{k}*(\wurzel{k} -\wurzel{k-1}) [/mm] .
Gebracht hat's, daß die bei manchen Leuten unbeliebten Brüche vorerst verschwunden sind.
Und nun kannst Du auch hier mit dem "3.binomische-Trick" anrücken.
Gruß v. Angela
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Mh,dann bekomme ich
[mm] -\wurzel{k}, [/mm] oder?
und Nun?
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Hallo tunetempatation,
> Mh,dann bekomme ich
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> [mm]-\wurzel{k},[/mm] oder?
Nein, du sollst erweitern und nicht einfach was dranmultiplizieren.
Du hast einfach "nur" [mm] $(\sqrt{k}+\sqrt{k-1})$ [/mm] an [mm] $\sqrt{k}\cdot{}(\sqrt{k}-\sqrt{k-1})$ [/mm] dranmultipliziert (und dabei noch einen VZF gemacht!), du musst aber erweitern, also mit [mm] $\blue{1=\frac{\sqrt{k}+\sqrt{k-1}}{\sqrt{k}+\sqrt{k-1}}}$ [/mm] multiplizieren.
Also [mm] $\sqrt{k}\cdot{}(\sqrt{k}-\sqrt{k-1})=\sqrt{k}\cdot{}(\sqrt{k}-\sqrt{k-1})\cdot{}\blue{\frac{\sqrt{k}+\sqrt{k-1}}{\sqrt{k}+\sqrt{k-1}}}=...$
[/mm]
> und Nun?
Rechne nochmal, denke an die Minusklammer im Zähler!
LG
schachuzipus
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Dann bekomme ich [mm] \bruch{\wurzel{k}}{(\wurzel{k}+\wurzel{k-1})}.
[/mm]
So dann [mm] k^{0.5} [/mm] im Z und N ausklammern. Dann komme ich aber auf 1 wenn ich dann k gegen [mm] \infty [/mm] gehen lass.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:49 Fr 02.01.2009 | | Autor: | Kroni |
Hi,
schreib mal genau hin, wie du ausklammerst. Ich sehe nämlich, dass dort 1/2 rauskommt...
Im letzten [mm] $\sqrt{k-1}$ [/mm] kannst du ja auch nochmal umschreiben in [mm] $\sqrt{k(1-1/k)}$, [/mm] und dann kannst du ein [mm] $\sqrt{k}$ [/mm] auskalmmern, und Grenzwertübergang machen.
LG
Kroni
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