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Grenzwert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:52 Do 02.07.2009
Autor: tunetemptation

Hallo,
folgende Aufgabe :
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} n*sin(\bruch{2}{n} [/mm] )
soll 2 sein. ( Laut Lösung )

Ich forme um : [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] 2* [mm] \bruch{sin\bruch{2}{n}}{\bruch{2}{n}} [/mm]
ergibt
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm]  2* [mm] \bruch{0}{0} [/mm]

Ist doch 0 und nicht 2?
wenn ich bei [mm] \bruch{0}{0} [/mm] Hospital anwende und dann wieder [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] bekomme ich [mm] \bruch {-\infty}{\infty} [/mm]

Und nun?
Habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.

        
Bezug
Grenzwert: Hinweis
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:57 Do 02.07.2009
Autor: Roadrunner

Hallo tunetemptation!


> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} n*sin(\bruch{2}{n}[/mm] )
>  soll 2 sein. ( Laut Lösung )

[ok]

  

> Ich forme um : [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] 2*[mm]\bruch{sin\bruch{2}{n}}{\bruch{2}{n}}[/mm]
> ergibt [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm]  2* [mm]\bruch{0}{0}[/mm]

[ok]

  

> Ist doch 0 und nicht 2?

[notok] Der unbestimmte Ausdruck [mm] $\bruch{0}{0}$ [/mm] kann nun alles sein.


> wenn ich bei [mm]\bruch{0}{0}[/mm] Hospital anwende und dann wieder
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] bekomme ich [mm]\bruch {-\infty}{\infty}[/mm]

Rechne das mal bitte vor.


  

> Und nun?

Alternativ kannst Du ja ersetzen $z \ := \ [mm] \bruch{2}{n}$ [/mm] und den Grenzwert [mm] $z\rightarrow [/mm] 0$ ermitteln.


Gruß vom
Roadrunner


Bezug
                
Bezug
Grenzwert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:06 Do 02.07.2009
Autor: tunetemptation

[mm] \bruch{d}{dk} sin(\bruch{2}{k}) =\bruch{-2*cos(\bruch{2}{k})}{k^2} [/mm]
nun [mm] k\rightarrow \infty [/mm] : [mm] \bruch{-2}{\infty} [/mm] ist [mm] -\infty [/mm]

und [mm] \bruch{2}{k} [/mm] und [mm] k\rightarrow \infty [/mm] ist [mm] \infty. [/mm]

Also -oo/oo. Oder etwa nicht?

Bezug
                        
Bezug
Grenzwert: Korrektur
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:15 Do 02.07.2009
Autor: Roadrunner

Halo tunetemptation!


Du musst bei de l'Hospital natürlich auch den Nenner ableiten und erst zusammenfassen vor der Grenzwertbetrachtung.


Gruß vom
Roadrunner


Bezug
                                
Bezug
Grenzwert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:24 Do 02.07.2009
Autor: tunetemptation

Stimmt sorry, ist auch -oo

Also -oo/-oo.

Und was mach ich dann nochmal hospital ?

Kann ich mir nicht vorstellen da der Zähler ein richtig großer Term wird und dass ja eigentlich nicht Aufgabe ist.

Bezug
                                        
Bezug
Grenzwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:34 Do 02.07.2009
Autor: schachuzipus

Hallo tunetemptation,

> Stimmt sorry, ist auch -oo
>  
> Also -oo/-oo.

[haee], ich verstehe nur [bahnhof]

Wieso schreibst du nicht auf, was dir geraten wurde, der Tipp war nicht böse gemeint, sondern hilfreich:

Es ist [mm] $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\sin\left(\frac{2}{n}\right)}{\frac{1}{n}}=\frac{0}{0}$, [/mm] also ein unbestimmter Ausdruck, also greift die Regel von de l'Hôpital:

Leitet man Zähler und Nenner getrennt ab, so ergibt sich

[mm] $...=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\left[\sin\left(\frac{2}{n}\right)\right]'}{\left[\frac{1}{n}\right]'}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{-\frac{2}{n^2}\cdot{}\cos\left(\frac{2}{n}\right)}{-\frac{1}{n^2}}$ [/mm]

Und das solltest du wie oben steht, vor dem Grenzübergang zusammenfassen.

Was ergibt sich ergo?

LG

schachuzipus

> Und was mach ich dann nochmal hospital ?
>  
> Kann ich mir nicht vorstellen da der Zähler ein richtig
> großer Term wird und dass ja eigentlich nicht Aufgabe ist.


Bezug
                                                
Bezug
Grenzwert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:40 Do 02.07.2009
Autor: tunetemptation

Mei bin ich blind, ja klar. Ist dann 2.
Aber wenn ich die 2 von vorher nicht mitberücksichtige dann ableite kommt 4 heraus. Ich blick auch nicht mehr durch.
Wie liegt da mein fehler ? Ich sehe gerade ihn nicht...;O(


Bezug
                                                        
Bezug
Grenzwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:46 Do 02.07.2009
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

> Mei bin ich blind, ja klar. Ist dann 2.
>  Aber wenn ich die 2 von vorher nicht mitberücksichtige
> dann ableite kommt 4 heraus.

Für den Zähler ja, aber dafür steht im Nenner ja [mm] $\frac{2}{n}$, [/mm] da kriegst du bei der Ableitung eine 2, die sich gegen die 4 gegen eine 2 wegkürzt.

Schreib's einfach mal komplett mit Rechenweg auf, dann siehst du's bestimmt selbst schon ;-)

> Ich blick auch nicht mehr
> durch.
>  Wie liegt da mein fehler ? Ich sehe gerade ihn
> nicht...;O(

Wie sollen wir ihn dann erst sehen, wenn du deine Rechnung nicht postest??

Glaskugel? Tarotkarten?

LG

schachuzipus  


Bezug
                                                                
Bezug
Grenzwert: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:50 Do 02.07.2009
Autor: tunetemptation

Ah jetzt hab ich den fehler habe die Angabe von der Antwort davor übernommen da kommt -1/k statt -2/k. Jetzt ist alles klar

Vielen lieben DANK

Bezug
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