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Grenzwert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:41 Sa 12.06.2010
Autor: Princess17

Aufgabe
Bestimmen Sie jeweils den Grenzwert a [mm] \in \IR [/mm] der Folge [mm] (a_n)_(n \in \IN) [/mm] und begründen Sie Ihre Wahl mit einer geeigneten Rechnung.
[mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{1}{n}sin(n) [/mm]

Hallo :-)
Ich habe leider keine Ahnung, wie man so eine Aufgabe löst. Ich hatte nur Mathe Grundkurs und da haben wir so etwas gar nicht gemacht und jetzt soll ich das auf einmal können... Deshalb kann ich leider auch keinen richtigen Lösungsansatz posten. Als Hinweis steht bei der Aufgabe, dass man sin(n) nach oben und unten abschätzen soll. Somit habe ich geschrieben:

[mm] -\bruch{1}{n} \le a_n \le \bruch{1}{n}. [/mm]
Ich weiß dass [mm] -\bruch{1}{n} \mapsto -\infty [/mm] und [mm] \bruch{1}{n} \mapsto \infty [/mm] für n [mm] \mapsto \infty. [/mm]
Aber was ist jetzt der Grenzwert der Folge und wie berechnet man das??

Vielen Dank für eure Hilfe.

        
Bezug
Grenzwert: Korrektur
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:44 Sa 12.06.2010
Autor: Loddar

Hallo Princess!

> [mm]-\bruch{1}{n} \le a_n \le \bruch{1}{n}.[/mm]

[ok]


> Ich weiß dass [mm]-\bruch{1}{n} \mapsto -\infty[/mm] und [mm]\bruch{1}{n} \mapsto \infty[/mm] für n [mm]\mapsto \infty.[/mm]

Was? [aeh] Das solltest Du nochmals stark überdenken!

Dann kommst Du auch schnell auf den Grenzwert.


Gruß
Loddar


Bezug
                
Bezug
Grenzwert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:56 Sa 12.06.2010
Autor: Princess17

Oh ja, ich sehe es.
Sowohl [mm] -\bruch{1}{n} [/mm] als auch [mm] \bruch{1}{n} \mapsto [/mm] 0, wenn n [mm] \mapsto \infty [/mm] !
Also würde ich logisch mal schließen, dass der Grenzwert der gesamten Funktion auch 0 ist (??).
Wärst du so lieb, mir das einmal komplett "mathematisch" aufzuschreiben? Mit diesem ... [mm] \le a_n \le [/mm] ... und so und wie man dann folgert, dass der Grenzwert auch 0 ist. Ich weiß gar nicht, wie man das aufschreibt. :-(

Bezug
                        
Bezug
Grenzwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:09 Sa 12.06.2010
Autor: abakus


> Oh ja, ich sehe es.
>  Sowohl [mm]-\bruch{1}{n}[/mm] als auch [mm]\bruch{1}{n} \mapsto[/mm] 0, wenn
> n [mm]\mapsto \infty[/mm] !
>  Also würde ich logisch mal schließen, dass der Grenzwert
> der gesamten Funktion auch 0 ist (??).
>  Wärst du so lieb, mir das einmal komplett "mathematisch"
> aufzuschreiben? Mit diesem ... [mm]\le a_n \le[/mm] ... und so und
> wie man dann folgert, dass der Grenzwert auch 0 ist. Ich
> weiß gar nicht, wie man das aufschreibt. :-(

Hallo,
du weißt, dass sin n zwischen -1 und 1 liegt. Das kannst du sicher selbst als Doppelungleichung schreiben.
Daraus folgt, dass "irgendwas" mal sin n zwischen -irgendwas und +irgendwas liegt.


Bezug
                                
Bezug
Grenzwert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:19 Sa 12.06.2010
Autor: Princess17

So weit hatte ich es doch auch schon hingeschrieben. Aber es fehlt trotzdem, wie davon auf den Grenzwert gefolgert wird.
Vielleicht so:

-1 [mm] \le [/mm] sin(n) [mm] \le [/mm] 1
[mm] \Rightarrow -\bruch{1}{n} \le \bruch{1}{n}sin(n) \le \bruch{1}{n} [/mm]
[mm] \pm \bruch{1}{n} \mapsto [/mm] 0 für n [mm] \mapsto \infty [/mm]
...
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n}sin(n) [/mm] = 0

Aber bei ... fehlt doch noch ein Schritt zur Begründung, oder? Ich weiß nicht, was ich da hinschreiben muss.

Bezug
                                        
Bezug
Grenzwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:28 Sa 12.06.2010
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

>  Vielleicht so:
>  
> -1 [mm]\le[/mm] sin(n) [mm]\le[/mm] 1
>  [mm]\Rightarrow -\bruch{1}{n} \le \bruch{1}{n}sin(n) \le \bruch{1}{n}[/mm]

>

Bis hierhin: Prima.

Und jetzt einfach nur als Folgerung:

[mm]\Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty} -\bruch{1}{n} \le \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n}sin(n) \le \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n}[/mm]  

Und nun die beiden Grenzwerte die du kennst ausrechnen, dann steht da was?

MFG,
Gono.

Bezug
                                                
Bezug
Grenzwert: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:42 Sa 12.06.2010
Autor: Princess17

...
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} -\bruch{1}{n} \le \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n}sin(n) \le \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n} [/mm]
0 [mm] \le \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n}sin(n) \le [/mm] 0
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n}sin(n) [/mm] = 0

Vielen Dank :-)

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