Grenzwert < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:28 Mi 29.12.2010 | | Autor: | sax318 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie nach der Regel von l'Hostpital den Grenzwert:
[mm] \limes_{x\rightarrow 2}\bruch{\wurzel(x)-\wurzel(2)}{\wurzel(x-2)} [/mm] |
Hallo,
also ich habe mir dieses Thema mal auf wiki angeschaut.. aber das ist ja wohl echt häftig. vor allem verstehe ich die sinnhaftigkeit dieses thema nicht, wofür man das verwendet.
ich hoffei hr könnt mir eine kindergerechte bzw. deppensichere erklärung von dem zeug geben.
danke vielmals schon mal!
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> Bestimmen Sie nach der Regel von l'Hostpital den
> Grenzwert:
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> [mm]\limes_{x\rightarrow\2} \bruch{\wurzel(x)-\wurzel(2)}{\wurzel(x-2)}[/mm]
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> Hallo,
>
> also ich habe mir dieses Thema mal auf wiki angeschaut..
> aber das ist ja wohl echt häftig. vor allem verstehe ich
> die sinnhaftigkeit dieses thema nicht, wofür man das
> verwendet.
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> ich hoffei hr könnt mir eine kindergerechte bzw.
> deppensichere erklärung von dem zeug geben.
>
Nein, also noch leichter als das auf Wikipedia erklärt wird, kann man das kaum machen... ein paar Worte werde ich trotzdem mal versuchen:
Wenn du den Grenzwert eines Bruchs ausrechnen willst (hier wohl für x [mm] \to [/mm] 2, das kann man bei dir nicht erkennen), dann gibt es unter bestimmten Voraussetzungen (die in deinem Beispiel erfüllt sind) die Möglichkeit, statt des gegebenen Bruchs einfach den Bruch der beiden Ableitungen anzuschauen, d.h. du leitest den Zähler und Nenner getrennt ab, schreibst die dann als neuen Zähler und Nenner in einen Bruch und kannst so häufig den Grenzwert ermitteln (Beispiele liefert Wikipedia, aber auch dein Beispiel klappt so).
Grund dafür: Du nimmst in der Nähe der zu untersuchenden Stelle (hier vermutlich 2) nicht die Funktionen selbst zur Untersuchung (weil du dann keine Aussage treffen kannst), sondern benutzt dafür Näherungen, anhand derer sich der Grenzwert ausrechnen lässt.
Also das Rezept für dich:
1. Leite [mm] \wurzel{x} [/mm] - [mm] \wurzel{2} [/mm] ab (das ist der neue Zähler)
2. Leite [mm] \wurzel{x-2} [/mm] ab (das ist der neue Nenner)
3. Bilde den Quotienten aus den beiden (Achtung, das ist ein Doppelbruch)
4. Setze die zu untersuchende Stelle ein (also x=2) und falls man das rechnen kann (also da nicht wieder [mm] \bruch{0}{0} [/mm] rauskommt), dann ist das dein gesuchter Grenzwert.
Zur Überprüfung kannst du dir den Graphen zu diesem Funktionsterm mal zeichnen lassen, dann siehst du, dass dieses Ergebnis korrekt ist.
> danke vielmals schon mal!
gerne 
lg weightgainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:55 Mi 29.12.2010 | | Autor: | sax318 |
erklärung ist perfekt! also könnte mana uch einfach schreiben man solld ie beiden extrempunkte ausrechnen oder? weil das sind ja die obersten und unterste stelle ? = grenzwerte?
ja soll x--> 2 sein, weiß nicht wieso das nicht dargestellt wird... :-(
Z(x) = [mm] \wurzel(x) [/mm] - [mm] \wurzel(2) [/mm] = [mm] x^{\bruch{1}{2}} [/mm] - [mm] 2^{\bruch{1}{2}}
[/mm]
Z'(x) = [mm] 0,5x^{-\bruch{1}{2}} [/mm] - [mm] 0,5*2^{-\bruch{1}{2}}
[/mm]
Z'(x) = [mm] 0,5x^{-\bruch{1}{2}} [/mm] - [mm] 1^{-\bruch{1}{2}}
[/mm]
Z'(x) = [mm] 0,5x^{-\bruch{1}{2}} [/mm] - 1
---
N(x) = [mm] \wurzel(x-2) [/mm] = [mm] (x-2)^{\bruch{1}{2}}
[/mm]
N'(x) = [mm] 0,5(x-2)^{-\bruch{1}{2}} [/mm]
---
Neu(x) = [mm] \bruch{0,5x^{-\bruch{1}{2}} - 1}{0,5(x-2)^{-\bruch{1}{2}} }
[/mm]
Doppelbruch? ... hab ich was falsch gemacht, ist doch kein doppelbruch?)
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Hallo,
bedenke, die Ableitung von [mm] \wurzel{2} [/mm] (eine Konstante) ist Null, also die -1 im Zähler kommt weg, da du alles mit negativen Exponenten geschrieben hast siehst du nicht gleich den Doppelbruch
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:02 Do 30.12.2010 | | Autor: | sax318 |
z(x) = [mm] \wurzel(x) [/mm] - [mm] \wurzel(2) [/mm] = [mm] x^{\bruch{1}{2}} [/mm] - [mm] 2^{\bruch{1}{2}}
[/mm]
Z'(x) = [mm] x^{- \bruch{1}{2}}
[/mm]
Z'(x) = [mm] \bruch{1}{x^2}
[/mm]
ist das so korrekt? oder ists [mm] -\bruch{1}{x^2} [/mm] ?
---
N(x) = [mm] \wurzel(x-2) [/mm] = [mm] (x-2)^{\bruch{1}{2}}
[/mm]
N'(x) = [mm] (x-2)^{-\bruch{1}{2}}
[/mm]
N'(x) = [mm] \bruch{1}{(x-2)²}
[/mm]
N'(x) = [mm] \bruch{1}{x² -2x +4}
[/mm]
---
Neu(x) = [mm] \bruch{\bruch{1}{x^2}}{\bruch{1}{x² -2x +4}}
[/mm]
außen*außen .. innen*innen
Neu(x) = [mm] \bruch{x^2}{x² -2x +4}
[/mm]
Neu(x) = [mm] \bruch{x^2}{x² } [/mm] - [mm] \bruch{x^2}{-2x} [/mm] + [mm] \bruch{x^2}{4}
[/mm]
Neu(x) = 1 - [mm] \bruch{x^2}{-2x} [/mm] + [mm] \bruch{x^2}{4}
[/mm]
korrekt?
guten rutsch ins neue jahr ;)
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> z(x) = [mm]\wurzel(x)[/mm] - [mm]\wurzel(2)[/mm] = [mm]x^{\bruch{1}{2}}[/mm] -
> [mm]2^{\bruch{1}{2}}[/mm]
>
Aha, so ist das also....
> Z'(x) = [mm]x^{- \bruch{1}{2}}[/mm]
>
> Z'(x) = [mm]\bruch{1}{x^2}[/mm]
... aber hier ist es auf einmal anders????
Schau einmal die Bedeutung von Exponenten nach bzw. mach es so richtig wie bei deinem ersten Schritt:
Exponent negativ --> ???
Exponent ein Bruch --> ???
Das sind zwei verschiedene Sachen!!!
>
> ist das so korrekt? oder ists [mm]-\bruch{1}{x^2}[/mm] ?
Weder noch - schau es nach....
> ---
>
> N(x) = [mm]\wurzel(x-2)[/mm] = [mm](x-2)^{\bruch{1}{2}}[/mm]
>
> N'(x) = [mm](x-2)^{-\bruch{1}{2}}[/mm]
>
> N'(x) = [mm]\bruch{1}{(x-2)²}[/mm]
>
> N'(x) = [mm]\bruch{1}{x² -2x +4}[/mm]
>
> ---
>
> Neu(x) = [mm]\bruch{\bruch{1}{x^2}}{\bruch{1}{x² -2x +4}}[/mm]
>
> außen*außen .. innen*innen
>
> Neu(x) = [mm]\bruch{x^2}{x² -2x +4}[/mm]
>
> Neu(x) = [mm]\bruch{x^2}{x² }[/mm] - [mm]\bruch{x^2}{-2x}[/mm] +
> [mm]\bruch{x^2}{4}[/mm]
>
> Neu(x) = 1 - [mm]\bruch{x^2}{-2x}[/mm] + [mm]\bruch{x^2}{4}[/mm]
>
>
> korrekt?
Fehler steckt oben!
>
> guten rutsch ins neue jahr ;)
lg weightgainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:50 Di 04.01.2011 | | Autor: | sax318 |
frage:
wie schreibt man:
[mm] x^{-\bruch{1}{2}}
[/mm]
um? - also wie mache ich daraus einen schönen bruch, ohne negative werte?
danke schon mal!
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Hallo sax!
Gemäß  Potenzgesetz gilt: [mm]x^{-\bruch{1}{2}} \ = \ \bruch{1}{x^{\bruch{1}{2}}} \ = \ \bruch{1}{\wurzel{x}}[/mm] .
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:42 Di 04.01.2011 | | Autor: | sax318 |
Macht dann also:
Neu(x) = [mm] (0,5*\bruch{1}{x(1/2)} [/mm] ) / [mm] (0,5*\bruch{1}{(x-2)^(1/2))}
[/mm]
schöner doppelbruch:
Neu(x) = [mm] \bruch{\bruch{0,5}{x(1/2)}}{\bruch{0,5}{(x-2)^(1/2)}}
[/mm]
korrekt?
macht dann:
Neu(x) = [mm] \bruch{0,5*(x-2)^(1/2)}{0,5x^(1/2)}
[/mm]
Neu(x) = [mm] \bruch{(x-2)^(1/2)}{x^(1/2)}
[/mm]
zwischenrechnung: [mm] (x-2)^0,5 [/mm] = [mm] x^0,5 [/mm] - 0,5*x*2 + [mm] 2^0,5
[/mm]
= [mm] x^0,5 [/mm] - x + [mm] 2^0,5 [/mm] -1,414213562
Neu(x) = [mm] \bruch{x^0,5 - x + 2^0,5 -1,414213562}{x^(1/2)}
[/mm]
weiter kürzen leider nicht möglich..
alles korrekt? beispiel fertig?
EDIT:
es fehlt noch:
Setze die zu untersuchende Stelle ein (also x=2) und falls man das rechnen kann (also da nicht wieder $ [mm] \bruch{0}{0} [/mm] $ rauskommt), dann ist das dein gesuchter Grenzwert.
Zur Überprüfung kannst du dir den Graphen zu diesem Funktionsterm mal zeichnen lassen, dann siehst du, dass dieses Ergebnis korrekt ist.
also jetzt:
Neu(2) = [mm] \bruch{2^0,5 - 2 + 2^0,5 -1,414213562}{2^(1/2)}
[/mm]
Neu(2) = [mm] \bruch{1,414213562 - 2 + 1,414213562 -1,414213562}{1,414213562}
[/mm]
Neu(2) = [mm] \bruch{-0,5857864376 }{1,414213562}
[/mm]
Neu(2) = -0,142135625
das ist leider nicht [mm] \bruch{0}{0} [/mm] :-((
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> Macht dann also:
>
>
> Neu(x) = [mm](0,5*\bruch{1}{x(1/2)}[/mm] ) /
> [mm](0,5*\bruch{1}{(x-2)^(1/2))}[/mm]
>
> schöner doppelbruch:
>
> Neu(x) =
> [mm]\bruch{\bruch{0,5}{x(1/2)}}{\bruch{0,5}{(x-2)^(1/2)}}[/mm]
Noch schöner: Schreibe statt "hoch 0,5" eine Wurzel:
[mm] $\bruch{\bruch{1}{2*\wurzel{x}}}{\bruch{1}{2*\wurzel{x-2}}} [/mm] = [mm] \bruch{\wurzel{x-2}}{\wurzel{x}}$
[/mm]
Jetzt kannst du da 2 einsetzen, es kommt 0 heraus und das ist dein gesuchter Grenzwert.
>
> korrekt?
>
> macht dann:
>
> Neu(x) = [mm]\bruch{0,5*(x-2)^(1/2)}{0,5x^(1/2)}[/mm]
>
> Neu(x) = [mm]\bruch{(x-2)^(1/2)}{x^(1/2)}[/mm]
Bis hierhin stimmt es.
>
> zwischenrechnung: [mm](x-2)^0,5[/mm] = [mm]x^0,5[/mm] - 0,5*x*2 + [mm]2^0,5[/mm]
> = [mm]x^0,5[/mm] - x + [mm]2^0,5[/mm] -1,414213562
>
Was soll das jetzt sein? Egal - es ist auf jeden Fall falsch, ich erkenne nicht mal im Ansatz, was du hier versuchst.
> Neu(x) = [mm]\bruch{x^0,5 - x + 2^0,5 -1,414213562}{x^(1/2)}[/mm]
>
> weiter kürzen leider nicht möglich..
>
> alles korrekt? beispiel fertig?
>
>
>
> EDIT:
>
> es fehlt noch:
> Setze die zu untersuchende Stelle ein (also x=2) und falls
> man das rechnen kann (also da nicht wieder [mm]\bruch{0}{0}[/mm]
> rauskommt), dann ist das dein gesuchter Grenzwert.
>
> Zur Überprüfung kannst du dir den Graphen zu diesem
> Funktionsterm mal zeichnen lassen, dann siehst du, dass
> dieses Ergebnis korrekt ist.
>
>
>
> also jetzt:
>
>
> Neu(2) = [mm]\bruch{2^0,5 - 2 + 2^0,5 -1,414213562}{2^(1/2)}[/mm]
>
> Neu(2) = [mm]\bruch{1,414213562 - 2 + 1,414213562 -1,414213562}{1,414213562}[/mm]
>
> Neu(2) = [mm]\bruch{-0,5857864376 }{1,414213562}[/mm]
>
> Neu(2) = -0,142135625
>
> das ist leider nicht [mm]\bruch{0}{0}[/mm] :-((
Sei glücklich, wenn da nicht wieder dasselbe rauskommt. Du willst doch einen Grenzwert haben, dazu musst du den ausrechnen. Mit diesem Verfahren hier kannst du den ausrechnen. Würde jetzt an dieser Stelle wieder [mm] $\bruch{0}{0} [/mm] $ rauskommen, müsstest du noch weitermachen. Wenn aber eine "normale" Zahl rauskommt, bist du fertig und hast damit deinen gesuchten Grenzwert berechnet.
Okay, hier hast du irgendwas falsch gerechnet, aber die Lösung steht ja oben.
lg weightgainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:01 Di 04.01.2011 | | Autor: | sax318 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
mein ansatz für die zwischenrechnung:
(a-b)^2 = a² - 2ab + b²
(a-b)^{0,5} = a^(0,5) + 0,5*a*b + b^{0,5)
.. dürfte wohl nicht ganz stimmen :-(
naja einen versuch wars wert ^^
danke für die hilfe!
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Hallo,
1. Zeile ok, Anwendung der Binomischen Formel
2. Zeile großer Murks, [mm] (a-b)^{0.5}=(a-b)^{\bruch{1}{2}}=\wurzel{a-b}
[/mm]
Steffi
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