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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:57 Di 14.06.2005 | | Autor: | mathejoker |
Guten Abend, ich hätte noch eine kleine Frage an euch bezüglich nem Grenzwert.
Ich habe eine rationale Funktion
f(x) := [mm] \bruch{6x^{3}+33x²+50x+25}{(x+3)^{3}(x²+1)}
[/mm]
auf ihrem natürlichen Definitionsbereich in [mm] \IC
[/mm]
a) Nun soll ich die Grenzwerte [mm] \limes_{x\rightarrow-3}(x+3)²f(x) [/mm]
sowie [mm] \limes_{x\rightarrow i}(x-i)f(x) [/mm] berechnen.
b) Dann soll ich unter Verwendung von der Teilaufgabe oben mit "möglichst geringen" rechenaufwand die komplexe und reele Partialbruchzerlegung von f bestimmen.
Bei der a) verwirrt mich diese Grenzwert schreibweise. soll ich da noch was multiplizieren wegen (x+3)²f(x). Wenn ich einmal x gegen -3 gehen lasse, dann steht doch im Nenner 0 und da schlagen bei mir alle Alarmglocken. :)
b) ich würde das einfach mit
f(x) := [mm] \bruch{6x^{3}+33x²+50x+25}{(x+3)^{3}(x²+1)} [/mm] = [mm] \bruch{A}{(x+3)}+\bruch{B}{(x+3)²}+\bruch{C}{(x+3)³}+\bruch{D}{(x²+1)}
[/mm]
Dann alles auf einen Nenner, Koeffizientenvergleich und ausrechnen. Aber das ist ja dann schon großer Rechenaufwand. Geht das denn einfacher?
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> f(x) := [mm]\bruch{6x^{3}+33x²+50x+25}{(x+3)^{3}(x²+1)}[/mm]
> auf ihrem natürlichen Definitionsbereich in [mm]\IC[/mm]
>
> a) Nun soll ich die Grenzwerte
> [mm]\limes_{x\rightarrow-3}(x+3)²f(x)[/mm]
> sowie [mm]\limes_{x\rightarrow i}(x-i)f(x)[/mm] berechnen.
>
> Bei der a) verwirrt mich diese Grenzwert schreibweise. soll
> ich da noch was multiplizieren wegen (x+3)²f(x).
Es ist keine neue Schreibweise, vermute ich sehr stark, sondern Du sollst die Funktion mit [mm](x+3)²[/mm] multiplizieren und dann den limes untersuchen, würde ich meinen.
Gruß v. Angela
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Guten Tag ;)
also bei der a) habe ich [mm] \bruch{10}{0} [/mm] raus, also ist der Grenzwert [mm] +\infty [/mm] und bei dem 2. grenzwert habe ich [mm] \bruch{0}{0} [/mm] raus. Was kann man denn da für Rückschlüsse ziehen?
bei der b) weiß ich aber immer noch nicht, wie ich die a) anwenden soll... hmm
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:23 Mi 15.06.2005 | | Autor: | Molaf |
Hallo mathejoker
Kennst du die Regel von L'Hopital? Die dürfte in jeder Mathe-Formelsammlung genauer beschrieben sein.
Was ich noch von meinem Studium weiss ist:
Grenzwerte der Form
[mm] \bruch{0}{0}
[/mm]
[mm] \bruch{ \infty}{ \infty}
[/mm]
[mm] \infty*0
[/mm]
können mit der Regel von L'Hopital gelöst werden. Sie besagt, man leite Zähler und Nenner für sich ab und betrachte den Grenzwert des neuen Bruches.
Bsp 1:
[mm] \limes_{n\rightarrow0} \bruch{x^{2}}{x} [/mm] ergibt [mm] \bruch{0}{0}
[/mm]
L'Hopital:
[mm] \limes_{n\rightarrow0} \bruch{2*x}{1} [/mm] ergibt [mm] \bruch{0}{1}=0
[/mm]
Bsp 2:
[mm] \limes_{n\rightarrow0} \bruch{x^{2}}{x^{4}} [/mm] ergibt [mm] \bruch{0}{0}
[/mm]
L'Hopital:
[mm] \limes_{n\rightarrow0} \bruch{2*x}{4*x^{3}} [/mm] ergibt [mm] \bruch{0}{0}
[/mm]
2*L'Hopital:
[mm] \limes_{n\rightarrow0} \bruch{2}{12*x^{2}} [/mm] ergibt [mm] \bruch{2}{0}= \infty
[/mm]
Vielleicht hilft dir das weiter?
Gruss
Molaf
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