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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:58 Fr 29.04.2011 | | Autor: | RWBK |
| Aufgabe | Geg.: [mm] f(x)=\bruch{x^{2}-^1}{x^{2}+x+4}
[/mm]
Definitionsbereich bestimmen. Stetigkeit?
Nullstellen
Grenzwert [mm] x\to \pm \infty [/mm] |
Hallo,
bei dieser Aufgabe hänge ich leider wieder einmal fest.
f(x) ist ganz stetig auf [mm] \IR [/mm] ( das konnte ich und passt auch mit dem Löser über ein)
Nullstellen hab ich auch und zwar x1=1 und x2=-1 ( passte ebenfalls mit dem Löser überein)
Aber jetzt kommt das mit den Grenzwerten [mm] x\to \pm \infty [/mm] das versteh ich leider überhaupt nicht: [mm] \limes_{x\rightarrow \pm \infty}= \bruch{x^{2}-^1}{x^{2}+x+4} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow \pm \infty} \bruch{1-1/x^{2}}{1+1/x+4/x^{2}}= \bruch{1}{1} [/mm] = 1
Diese Rechnung ist von meinem Lehrer, der hatte das an der Tafel gemacht (vorweg genommen) aber ich versteh gar nicht was der da treibt. Könnte mir das vielleicht jemand mal erklären? [mm] \limes_{x\rightarrow \pm \infty} \bruch{1-1/x^{2}}{1+1/x+4/x^{2}}= \bruch{1}{1} [/mm] = 1
wie kommt er hier drauf? Wenn es geht bitte so einfach wie möglich erklären, denn ich versteh das überhaupt nicht.
Mfg
RWBK
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:00 Fr 29.04.2011 | | Autor: | RWBK |
Da ist ein kleiner Fehler drin da soll [mm] x^{2}-1 [/mm] stehen. Sorry
Mfg
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Hallo RWBK,
> Geg.: [mm]f(x)=\bruch{x^{2}-1}{x^{2}+x+4}[/mm]
> Definitionsbereich bestimmen. Stetigkeit?
> Nullstellen
> Grenzwert [mm]x\to \pm \infty[/mm]
> Hallo,
>
> bei dieser Aufgabe hänge ich leider wieder einmal fest.
>
> f(x) ist ganz stetig auf [mm]\IR[/mm] ( das konnte ich und passt
> auch mit dem Löser über ein)
> Nullstellen hab ich auch und zwar x1=1 und x2=-1 ( passte
> ebenfalls mit dem Löser überein)
> Aber jetzt kommt das mit den Grenzwerten [mm]x\to \pm \infty[/mm]
> das versteh ich leider überhaupt nicht:
> [mm]\limes_{x\rightarrow \pm \infty}= \bruch{x^{2}-^1}{x^{2}+x+4}[/mm]
> = [mm]\limes_{x\rightarrow \pm \infty} \bruch{1-1/x^{2}}{1+1/x+4/x^{2}}= \bruch{1}{1}[/mm]
> = 1
>
> Diese Rechnung ist von meinem Lehrer, der hatte das an der
> Tafel gemacht (vorweg genommen) aber ich versteh gar nicht
> was der da treibt. Könnte mir das vielleicht jemand mal
> erklären? [mm]\limes_{x\rightarrow \pm \infty} \bruch{1-1/x^{2}}{1+1/x+4/x^{2}}= \bruch{1}{1}[/mm]
> = 1
> wie kommt er hier drauf? Wenn es geht bitte so einfach wie
> möglich erklären, denn ich versteh das überhaupt nicht.
Nun, der Lehrer hat in Zähler und Nenner die höchste Potenz von x, also [mm]x^2[/mm] ausgeklammert:
Zähler: [mm]x^2-1=x^2\cdot{}\left(1-\frac{1}{x^2}\right)[/mm]
Nenner: [mm]x^2+x+4=x^2\cdot{}\left(1+\frac{1}{x}+\frac{4}{x^2}\right)[/mm]
Dann hat er [mm]x^2[/mm] gekürzt und [mm]x\to\pm\infty[/mm] laufen lassen.
Dabei sind die 1en konstant 1, die Terme (Summanden), in denen [mm]x[/mm] oder [mm]x^2[/mm] im Nenner steht, für [mm]x\to\pm\infty[/mm] gegen 0, also strebt der Gesamtbruch für [mm]x\to\pm\infty[/mm] gegen [mm]\frac{1-0}{1+0+0}=\frac{1}{1}=1[/mm]
>
> Mfg
> RWBK
Gruß
schachuzipus
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