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| Aufgabe | Bestimmen sie den Grenzwert für
[mm] $\limes_{x\rightarrow 1} \frac{x^2-1}{2x^2-x-1}$ [/mm] |
Wie genau gehe ich bei solchen gebrochenrationalen Funktionen vor? Es wäre nett wenn mir jemand Lösungsansätze geben könnte :)
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Hallo, du bekommst den unbestimmten Ausdruck [mm] \bruch{0}{0} [/mm] mache L'Hospital, Steffi
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Hallo charlene80,
de l'Hôpital ist gar nicht notwendig.
Faktorisiere Zähler und Nenner:
[mm]\frac{x^2-1}{2x^2-x-1}=\frac{(x+1)(x-1)}{(2x+1)(x-1)}[/mm]
Nun kannst du [mm]x-1[/mm] kürzen und gefahrlos [mm]x\to 1[/mm] laufen lassen ...
Gruß
schachuzipus
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Ok danke :) man brauch nur den richtigen blick :)
dann läuft das also gegen 2/3.
Aber was mache ich zb bei einer Funktion mit dem natürlichen logarithmus?
[mm] $\limes_{x\rightarrow 3} ln(\vert x^2-5x+6 \vert)-ln(\vert [/mm] x - 3 [mm] \vert)$
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:15 Di 18.12.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo Charlene!
Fasse beide Terme gemäß  Logarithmusgesetz zu einem [mm] $\ln(...)$ [/mm] zusammen und gehe dann analog wie oben vor.
Gruß
Loddar
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Also kommt dann einfach $ln(1)$ raus? genauer muss man das nicht angeben oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:22 Di 18.12.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo Charlene!
> Also kommt dann einfach [mm]ln(1)[/mm] raus?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> genauer muss man das nicht angeben oder?
Naja, das sollte man schon "ausrechnen". Was ergibt denn [mm] $\ln(1)$ [/mm] ?
Gruß
Loddar
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0 kommt raus?
ich habe noch eine Funktion, bei der ich mir nicht sicher bin:
[mm] $\limes_{x\rightarrow 2} \wurzel(\frac{x^2+2x-8}{x^2-x-2})$
[/mm]
Kann man da einfach l'hospital unter der wurzel nehmen und dann die wurzel so belassen?
Dann würde ich auf [mm] $\wurzel{2}$ [/mm] kommen
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> 0 kommt raus?
>
richtig
> ich habe noch eine Funktion, bei der ich mir nicht sicher
> bin:
> [mm]\limes_{x\rightarrow 2} \wurzel(\frac{x^2+2x-8}{x^2-x-2})[/mm]
>
> Kann man da einfach l'hospital unter der wurzel nehmen und
> dann die wurzel so belassen?
> Dann würde ich auf [mm]\wurzel{2}[/mm] kommen
richtig
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Hallo,
> 0 kommt raus?
>
> ich habe noch eine Funktion, bei der ich mir nicht sicher
> bin:
> [mm]\limes_{x\rightarrow 2} \wurzel(\frac{x^2+2x-8}{x^2-x-2})[/mm]
>
> Kann man da einfach l'hospital unter der wurzel nehmen und
> dann die wurzel so belassen?
Man kann nicht nur, man muss es sogar so machen. In [mm] \IR [/mm] gilt ja zwar
[mm]\wurzel{\bruch{a}{b}}=\bruch{\wurzel{a}}{\wurzel{b}}[/mm]
aber das kannst du hier nicht verwenden (weshalb nicht?).
> Dann würde ich auf [mm]\wurzel{2}[/mm] kommen
Ja, das ist richtig.
Gruß, Diophant
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> Hallo,
>
> > 0 kommt raus?
> >
> > ich habe noch eine Funktion, bei der ich mir nicht sicher
> > bin:
> > [mm]\limes_{x\rightarrow 2} \wurzel(\frac{x^2+2x-8}{x^2-x-2})[/mm]
>
> >
> > Kann man da einfach l'hospital unter der wurzel nehmen und
> > dann die wurzel so belassen?
>
> Man kann nicht nur, man muss es sogar so machen. In [mm]\IR[/mm]
> gilt ja zwar
>
> [mm]\wurzel{\bruch{a}{b}}=\bruch{\wurzel{a}}{\wurzel{b}}[/mm]
>
> aber das kannst du hier nicht verwenden (weshalb nicht?).
>
Naja weil die beiden Terme a und b negativ sind.
> > Dann würde ich auf [mm]\wurzel{2}[/mm] kommen
>
> Ja, das ist richtig.
>
>
> Gruß, Diophant
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Hallo,
> Naja weil die beiden Terme a und b negativ sind.
aber nur, wenn man von links kommt. Wenn nur der rechtsseitige Grenzwert gefordert wäre, dann könnte man das mit den beiden Wurzeln und mit l'Hospital machen.
So wie es jetzt gelöst ist, sollte man sich immerhin darüber im Klaren sein, dass man hier die Stetigkeit des Terms in x=2 verwendet (und damit ist halt immer die Frage verbunden, ob das schon verwendet werden darf).
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:37 Di 18.12.2012 | | Autor: | Diophant |
Hallo chralene80,
bitte starte in Zukunft für jede neue Frage einen neuen Thread, der Ordnung halber.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:45 Di 18.12.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo charlene80,
> [mm]\limes_{x\rightarrow 2} \wurzel(\frac{x^2+2x-8}{x^2-x-2})[/mm]
>
> Kann man da einfach l'hospital unter der wurzel nehmen und
> dann die wurzel so belassen?
Ja, das entscheidende Stichwort lautet hier: Stetigkeit der Wurzelfunktion.
Viele Grüße
Tobias
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