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| Aufgabe | Bestimmen Sie mit Hilfe des Mittelwertsatzes
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] ((ln(n + [mm] 1))^2 [/mm] − [mm] (ln(n))^2). [/mm] |
Hallo,
mit L'Hospital bekommt man den Grenzwert 0 raus. Jedoch ist meine Frage, wo ich denn hier den MWS anwende?
LG
Milchschelle
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Hallo Milchschelle,
> Bestimmen Sie mit Hilfe des Mittelwertsatzes
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] ((ln(n + [mm]1))^2[/mm] − [mm](ln(n))^2).[/mm]
> Hallo,
>
> mit L'Hospital bekommt man den Grenzwert 0 raus. Jedoch ist
> meine Frage, wo ich denn hier den MWS anwende?
>
Setze zunächst [mm]f\left(n\right)=\left(\ln\left(n\right)\right)^ {2}[/mm]
Dann kannst Du auf
[mm]f\left(n+1\right)-f\left(n\right)[/mm]
den MWS anwenden.
> LG
>
> Milchschelle
Gruss
MathePower
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okay, dann wissen wir nach dem MWS , dass es so eine Zwischenstelle gibt, aber wie geht das ganze nun weiter? wie komme ich nun dazu, dass ich den grenzwert bestimmen kann? ich sehe den zusammenhang zwischen MSW und grenzwert nicht
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Hallo,
> okay, dann wissen wir nach dem MWS , dass es so eine
> Zwischenstelle gibt, aber wie geht das ganze nun weiter?
> wie komme ich nun dazu, dass ich den grenzwert bestimmen
> kann? ich sehe den zusammenhang zwischen MSW und grenzwert
> nicht
ohne dir jetzt dein konkretes Beispiel zu lösen möchte ich ein paar Worte zum Thema MWS/Grenzwertbestimmung/De l'Hospital verlieren. Vielleicht hilft dir das fürs allgemeine Verständnis.
Angenommen [mm]f(x_0)=g(x_0)=0[/mm] , so gilt:
[mm]\limes_{x\rightarrow x_0}\bruch{f(x)}{g(x)}=\limes_{x\rightarrow x_0}\bruch{f'(x)}{g'(x)}[/mm]
mit dem Mittelwertsatz folgt daraus
[mm]\bruch{f(x)}{g(x)}=\bruch{f(x)-f(x_0)}{g(x)-g(x_0)}=\bruch{f'(\xi)}{g'(\eta)}[/mm]
[mm]\xi[/mm] und [mm]\eta[/mm] befinden sich zwischen [mm]x[/mm] und [mm]x_0[/mm]. Also [mm]|x-x_0|<\delta[/mm] , [mm]|\eta-x_0|<\delta[/mm] und [mm]|\xi-x_0|<\delta[/mm]. Konvergiert also dein $x$ gegen [mm] $x_0$, [/mm] so konvergieren [mm] $\xi$ [/mm] und [mm] $\eta$ [/mm] ebenfalls gegen [mm] $x_0$ [/mm] ... das ganze gilt für ein- und zweiseitige Grenzwerte. Ich hoffe ich verwirre dich damit jetzt nicht.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:58 Fr 18.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo scherzkrapferl,
> Hallo,
>
> > okay, dann wissen wir nach dem MWS , dass es so eine
> > Zwischenstelle gibt, aber wie geht das ganze nun
> weiter?
> > wie komme ich nun dazu, dass ich den grenzwert
> bestimmen
> > kann? ich sehe den zusammenhang zwischen MSW und
> grenzwert
> > nicht
>
> ohne dir jetzt dein konkretes Beispiel zu lösen möchte
> ich ein paar Worte zum Thema MWS/Grenzwertbestimmung/De
> l'Hospital verlieren. Vielleicht hilft dir das fürs
> allgemeine Verständnis.
>
> Angenommen [mm]f(x_0)=g(x_0)=0[/mm] , so gilt:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow x_0}\bruch{f(x)}{g(x)}=\limes_{x\rightarrow x_0}\bruch{f'(x)}{g'(x)}[/mm]
>
> mit dem Mittelwertsatz folgt daraus
>
> [mm]\bruch{f(x)}{g(x)}=\bruch{f(x)-f(x_0)}{g(x)-g(x_0)}=\bruch{f'(\xi)}{g'(\eta)}[/mm]
>
> [mm]\xi[/mm] und [mm]\eta[/mm] befinden sich zwischen [mm]x[/mm] und [mm]x_0[/mm]. Also
> [mm]|x-x_0|<\delta[/mm] , [mm]|\eta-x_0|<\delta[/mm] und [mm]|\xi-x_0|<\delta[/mm].
> Konvergiert also dein [mm]x[/mm] gegen [mm]x_0[/mm], so konvergieren [mm]\xi[/mm] und
> [mm]\eta[/mm] ebenfalls gegen [mm]x_0[/mm] ... das ganze gilt für ein- und
> zweiseitige Grenzwerte. Ich hoffe ich verwirre dich damit
> jetzt nicht.
ich habe gerade drüber gegrübelt, warum man de l'Hôpital nicht so
beweist, aber jetzt weiß ich es:
Bei Dir braucht man dann, dass sowohl [mm] $\lim_{x \to x_0} f\,'(x)$ [/mm] als auch
[mm] $\lim_{x \to x_0}g\,'(x)$ [/mm] existiert (letzterer darf insbesondere nicht [mm] $=0\,$
[/mm]
sein).
Bei de l'Hôpital braucht man die Existenz von
[mm] $$\lim_{x \to x_0} \frac{f\,'(x)}{g\,'(x)}\,,$$
[/mm]
und dieser kann auch existieren, ohne das obige beiden Grenzwerte
existieren. Nur mal so als Bemerkung, warum man beim Beweis von de
l'Hôpital den erweiterten MWS der Differentialrechnung benutzt!
Gruß,
Marcel
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Hallo Marcel,
> Hallo scherzkrapferl,
>
> ich habe gerade drüber gegrübelt, warum man de l'Hôpital
> nicht so
> beweist, aber jetzt weiß ich es:
> Bei Dir braucht man dann, dass sowohl [mm]\lim_{x \to x_0} f\,'(x)[/mm]
> als auch
> [mm]\lim_{x \to x_0}g\,'(x)[/mm] existiert (letzterer darf
> insbesondere nicht [mm]=0\,[/mm]
> sein).
Oh das wäre erwähnenswert gewesen, danke :)
Das der zweite Grenzwert nicht 0 sein darf hab ich mal wieder (als Physikstudent) als selbsterklärend angenommen .. x/0 mögen wir nicht haha. Aber natürlich muss ich dir dabei recht geben.
>
> Bei de l'Hôpital braucht man die Existenz von
> [mm]\lim_{x \to x_0} \frac{f\,'(x)}{g\,'(x)}\,,[/mm]
> und dieser
> kann auch existieren, ohne das obige beiden Grenzwerte
> existieren. Nur mal so als Bemerkung, warum man beim Beweis
> von de
> l'Hôpital den erweiterten MWS der Differentialrechnung
> benutzt!
Hmm ... da hab ich jetzt ein bisschen länger nachdenken müssen. Aber klingt ziemlich einleuchtend :)
Hatte mir nur kurz überlegt wie man soetwas beweisen kann. Als nicht-Mathematiker ist das offensichtlich doch nicht so einfach.
Vielen Dank für deine erleuterungen :)
>
> Gruß,
> Marcel
Liebe Grüße,
Scherzkrapferl
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:10 Mi 23.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Marcel,
>
> > Hallo scherzkrapferl,
> >
> > ich habe gerade drüber gegrübelt, warum man de l'Hôpital
> > nicht so
> > beweist, aber jetzt weiß ich es:
> > Bei Dir braucht man dann, dass sowohl [mm]\lim_{x \to x_0} f\,'(x)[/mm]
> > als auch
> > [mm]\lim_{x \to x_0}g\,'(x)[/mm] existiert (letzterer darf
> > insbesondere nicht [mm]=0\,[/mm]
> > sein).
>
> Oh das wäre erwähnenswert gewesen, danke :)
wenn ich drüber nachgedacht und es gesehen habe, will ich es mir
wenigstens auch einmal niederschreiben.
> Das der zweite Grenzwert nicht 0 sein darf hab ich mal
> wieder (als Physikstudent) als selbsterklärend angenommen
> .. x/0 mögen wir nicht haha.
Mathematiker auch nicht - aber meistens schreiben wir es dazu (natürlich
schreibt das ein Prof. in höheren Semestern meist nicht mehr, wenn er
eine Vorlesung hält; aber meist sagt er's dann kurz): Jedenfalls in den
eigenen Notizen.
> Aber natürlich muss ich dir
> dabei recht geben.
>
> >
> > Bei de l'Hôpital braucht man die Existenz von
> > [mm]\lim_{x \to x_0} \frac{f\,'(x)}{g\,'(x)}\,,[/mm]
> > und
> dieser
> > kann auch existieren, ohne das obige beiden Grenzwerte
> > existieren. Nur mal so als Bemerkung, warum man beim Beweis
> > von de
> > l'Hôpital den erweiterten MWS der Differentialrechnung
> > benutzt!
>
> Hmm ... da hab ich jetzt ein bisschen länger nachdenken
> müssen. Aber klingt ziemlich einleuchtend :)
Ich auch, zwar nicht ganz so lang, aber ich fragte mich einfach: Warum
benutzt man beim Beweis von de l'Hôpital eigentlich nicht den "einfachen"
Mittelwertsatz? Naja, dann hab' ich gesehen: Weil die Aussage damit nicht
"scharf genug" werden würde. Deine Methode hier ist sowas wie "eine
kleine Version von de l'Hôpital".
> Hatte mir nur kurz überlegt wie man soetwas beweisen kann.
> Als nicht-Mathematiker ist das offensichtlich doch nicht so einfach.
Du kennst aber den Beweis, oder? Mit dem erweiterten MWS geht der
doch relativ zügig - also ich meine jetzt den Beweis vom Satz von Hôpital!
> Vielen Dank für deine erleuterungen :)
Leut' Leut' ...  Du meinst "Erläuterungen". Aber gut: Diese kleine
Variablensubstitution [mm] ($e:=\text{ä}$) [/mm] lasse ich nochmal durchgehen; auch,
wenn sie in dem Wort von Dir nicht überall konsequent durchgezogen
worden ist.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:46 Fr 18.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> okay, dann wissen wir nach dem MWS , dass es so eine
> Zwischenstelle gibt, aber wie geht das ganze nun weiter?
> wie komme ich nun dazu, dass ich den grenzwert bestimmen
> kann? ich sehe den zusammenhang zwischen MSW und grenzwert
> nicht
die Antwort, die Du von Scherzkrapferl bekommen hast, imitiert im Prinzip
einfach nur den Beweis der Regel von de l'Hôpital nach, den man ja mit
dem erweiterten(!) MWS führt.
(Edit: Das war falsch von mir gesagt. Er benutzt doch nur den MWS,
aber er hätte vielleicht das ganze auch besser mit dem erweiterten MWS
dort machen sollen, wenn er [mm] $f/g\,$ [/mm] benutzt. Denn der erweiterte folgt
NICHT unmittelbar aus dem "normalen" MWS der Differentialrechnung,
sondern umgekehrt: Aus dem erweiterten folgt insbesondere der "normale"...)
Du sollst hier wirklich einfach nur den MWS anwenden. Was ist denn
[mm] $f\,'$ [/mm] bei Dir?
Ansonsten: Lies' einfach hier (klick!) nach (beachte auch meine
korrigierenden Hinweise dort), denn die Aufgabe gab's vor kurzem schon
einmal (was ich Dir NICHT zum Vorwurf mache, sie ist nicht so leicht zu
finden gewesen...)
Gruß,
Marcel
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