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Hallo,
ich habe ein heftiges Problem mit eine Aufgabe. Die Lösung liegt mir vor. Jedoch verstehe ich diese nicht wirklich...
Aufgabe: Für die reelle Folge [mm] (a_n)_{n \in \IN} [/mm] gelte:
[mm] a_1 [/mm] = 1, [mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] \frac{2+4a_n}{4+3a_n} [/mm] für alle n [mm] \in \IN. [/mm]
Zeigen Sie, dass die Folge [mm] (a_n)_{n \in \IN} [/mm] konvergiert und bestimmen Sie ihren Grenzwert. Hinweis: Zeigen Sie, dass Konstanten [mm] \alpha, \beta [/mm] > 0 existieren mit [mm] \alpha \le a_n \le \beta.
[/mm]
Die Aufgabe und den Hinweis meine ich verstanden zu haben. Nun kommt die Musterlösung. Meine Fragen habe ich rot markiert.
Musterlösung:
klar: [mm] a_n [/mm] > 0 (n [mm] \in [/mm] IN); a = [mm] \frac{2+4a}{4+3a}, [/mm] a > 0 [mm] \gdw [/mm] a = [mm] \wurzel{\frac{2}{3}} [/mm] =: [mm] a^{+};
[/mm]
1. Frage: So eine Herangehensweise habe ich noch nie gesehen. Besonders ist mir dieses a = [mm] \frac{2+4a}{4+3a} [/mm] "Konstrukt" total fremd. Was soll das sein?
Beh: [mm] a_n \to a^{+} [/mm] (n [mm] \to \infty)
[/mm]
Okay. Es ziehlt also darauf ab, dass [mm] a^{+} [/mm] der Grenzwert sein soll. Soweit klar.
Beweis: [mm] b_n [/mm] := [mm] a_n [/mm] - [mm] a^{+}, [/mm] n [mm] \in \IN;
[/mm]
[mm] b_{n+^} [/mm] = [mm] a_{n+1} [/mm] - [mm] a^{+} [/mm] = (nach Definition) [mm] \frac{2+4a_n}{4+3a_n} [/mm] - [mm] \frac{2+4a^{+}}{4+3a^{+}} [/mm] = [mm] \frac{10}{(4+3a_n)(4+3a^{+})} b_n
[/mm]
2. Frage: Okay. Für [mm] a_{n+1} [/mm] setze ich einfach die gegeben Folge ein. Aber nun komme ich mit diesem [mm] a^{+} [/mm] und a = [mm] \frac{2+4a}{4+3a} [/mm] "Konstrukt" durcheinander. Was bringt das und wie kommen die auf [mm] \wurzel{\frac{2}{3}}?
[/mm]
Da | [mm] \frac{10}{(4+3a_n)(4+3a^{+})} [/mm] | < [mm] \frac{10}{16}, (a_n [/mm] > 0, [mm] a^{+} [/mm] > 0)
3. Frage: Hmmm. Jetzt fehlt da im Betrag plötzlich das [mm] b_n [/mm] und wie kommen die auf [mm] \frac{10}{16} [/mm] ?
folgt: [mm] |b_{n+1} [/mm] | < [mm] \frac{10}{6}^n |b_1| \to [/mm] 0 (n [mm] \to \infty).
[/mm]
4. Frage: Also der ganze Beweis ist mir ein Rätsel. Kann da jemand Licht uns Dunkle bringen? :)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:50 Mo 24.03.2008 | | Autor: | pelzig |
(Ich schreib dir den Beweis nochmal etwas ausführlicher hin)
Offensichtlich gilt für beliebige konvergente Zahlenfolgen [mm] $a_n$:
[/mm]
[mm] $$\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n+1}=\lim_{n\rightarrow\infty}a_n$$
[/mm]
Angenommen, der gesuchte Grenzwert existiert, so setze [mm] $\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=:a$ [/mm] und es folgt:
[mm] $$a=\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n+1}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{2+4a_n}{4+3a_n}=\frac{2+4\lim_{n\rightarrow\infty}a_n}{4+3\lim_{n\rightarrow\infty}a_n}=\frac{2+4a}{4+3a}\Leftrightarrow a=\pm\sqrt{\frac{2}{3}}$$
[/mm]
Da außerdem [mm] $a_n>0$ [/mm] gilt, folgt [mm] $a=\sqrt{\frac{2}{3}}$. [/mm] (In der Musterlösung schreiben sie jetzt immer $a_+$, ist genaugenommen sauberer, dafür aber auch verwirrender - ich schreibe einfach weiterhin $a$.)
Mit dieser Methode haben wir also den einzigen in Frage kommenden Grenzwert "erraten", jetzt müssen wir zeigen, dass tatsächlich [mm] $\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=a$ [/mm] gilt. Dazu wird in der Musterlösung gezeigt, dass die Folge [mm] $b_n:=a_n-a$ [/mm] eine Nullfolge ist.
Dazu wird für [mm] $b_n$ [/mm] auch erstmal eine rekursive Bildungsvorschrift hergeleitet:
[mm] $$b_{n+1}=\frac{10}{(4+3a_n)(4+3a^{+})}b_n$$
[/mm]
und es folgt:
[mm] $$|b_{n+1}|=\left|\frac{10}{(4+3a_n)(4+3a^{+})}b_n\right|=\frac{10}{(4+3a_n)(4+3a^{+})}|b_n|<\frac{10}{16}|b_n|=:q|b_n|$$
[/mm]
Die letzte Abschätzung gilt, da wie gesagt [mm] $a_n,a>0$ [/mm] sind.
Wir haben also jetzt [mm] $|b_{n+1}|
Jetzt haben wir [mm] $0\le|b_{n+1}|< q^n|b_1|$. [/mm] Wegen $q<1$ folgt [mm] $q^n|b_1|\rightarrow0$ [/mm] und wir können das "Sandwichlemma" (Sind [mm] $x_n,y_n,z_n$ [/mm] Folgen mit [mm] $x_n\le y_n\le z_n$ [/mm] und [mm] $x_n\rightarrow c\leftarrow z_n$, so folgt $y_n\rightarrow [/mm] c$) anwenden und es folgt [mm] $b_n\rightarrow0$ [/mm] wie gewünscht und wir sind fertig [mm] $\Box$.
[/mm]
Gerade am Ende werden ein paar sehr schöne, häufig benuzte Schritte gemacht, die solltest du auf jeden Fall vollständig nachvollziehen und, falls irgendwelche Unklarheiten bestehen sollten, lieber nochmal nachfragen.
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