Grenzwert (1- e^(-2x))^(e^2x) < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Berechnen sie die nachfolgenden Grenzwerte der Fznktionen!
(d) [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] [1 - e^(-2x)]^(e^(2x))
(c) [mm] \limes_{x\rightarrow\(1)} \bruch{ln(x)}{(x-1)^2} [/mm] (von links, also x<1) |
Ich habe folgende Aufgaben zu lösen und komme bei den beiden noch nicht ganz zum ziel.
Also bei der (d) ist es mit den speziellen Grenzwertsätzen ja ganz einfach, dass gilt:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] [1 - e^(-2x)]^(e^(2x)) = [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] (1 - [mm] \bruch{1}{e^(2x)})^{e^(2x)}
[/mm]
= 1/e nach speziellem Grenzwert (aus dem Tafelwerk)
Ich bin mir allerdings nicht sicher, ob wir das einfach so schreiben können. Hat vielleicht jemand eine Idee, wie man auf dieses 1/e auch durch "Berechnungen" kommen kann?
ich habe es mit bernoulli hospital versucht(unendlich durch unendlich), nachdem ich das ganze auf einen gemeinsamen nenner e^2x gebracht habe und dann das hoch e^2x jeweils beim nenner und zähler gesetzt habe, aber wenn ich dann bernoulli anwende, komme ich ja wieder auf unendlich durch unendlich, und das hilft mir ja nicht weiter...
und dann zur c):
[mm] \limes_{x\rightarrow\(1)} \bruch{ln(x)}{(x-1)^2} [/mm] = (bernoulli da 0/0 ) [mm] \limes_{x\rightarrow\(1)} \bruch{1/x}{2x-2}
[/mm]
= [mm] \limes_{x\rightarrow\(1)} \bruch{1}{2x^2-2x}
[/mm]
wenn ich nun 1 einsetze, steht ja da eigentlich 1:0. kann ich nun einfach schreiben, dass das unendlich ist, oder muss ich da noch weiter umformen, und wenn ja ,wie?
ich danke im voraus für die hilfe,
die_conny
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:26 Di 22.04.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo conny!
Substituiere hier mal $z \ := \ [mm] e^{2x}$ [/mm] .
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
danke für die schnelle antwort.
wie mache ich das denn, wenn ich bei grenzwerten substituiere? ich habe das noch nie gemacht. muss ich da etwas beachten (wie beim integrieren mit der ableitung)? wär nett, wenn du das mal kurz darstellen könntest.
danke, die_conny
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:49 Di 22.04.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Conny!
Bei der Substitution musst Du auch beachten, was mit Deiner Grenzwert"grenze" passiert.
Aber da [mm] $e^{2x}$ [/mm] für [mm] $x\rightarrow\infty$ [/mm] ebenfalls gegen [mm] $+\infty$ [/mm] strebt, gilt:
[mm] $$\limes_{x\rightarrow\infty}\left(1-e^{-2x}\right)^{e^{2x}} [/mm] \ [mm] \overset{\red{z \ := \ e^{2x}}}{=} [/mm] \ [mm] \limes_{z\rightarrow\infty}\left(1-\bruch{1}{z}\right)^z$$
[/mm]
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:01 Di 22.04.2008 | | Autor: | die_conny |
danke für die antwort!
aber jetzt steht ja im endeffekt auch wieder etwas da, worauf ich diesen speziellen grenzwertsatz anwenden würde. oder kann ich das jetzt auch anders machen? weil wenn ich jetzt bernoulli mache, ist es ja das selbe problem, nur dass dann hoch z-1 da steht...
vielen dank im voraus, die_conny
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:06 Di 22.04.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Conny!
Hattet ihr schon folgenden Grenzwert?
[mm] $$\limes_{n\rightarrow\infty}\left(1+\bruch{x}{n}\right)^n [/mm] \ = \ [mm] \exp(x) [/mm] \ = \ [mm] e^x$$
[/mm]
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:27 Di 22.04.2008 | | Autor: | die_conny |
ah ja, den hatten wir schon, danke ;)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:13 Di 22.04.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Conny!
> wenn ich nun 1 einsetze, steht ja da eigentlich 1:0. kann
> ich nun einfach schreiben, dass das unendlich ist,
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Du musst nur noch beachten, ob es gegen [mm] $-\infty$ [/mm] oder gegen [mm] $+\infty$ [/mm] strebt (es gilt ja $x \ < \ 1$ ).
Gruß
Loddar
|
|
|
|
