Grenzwert Beweis < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:56 Mi 22.10.2008 | | Autor: | raemic |
| Aufgabe | Beweise: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{n}=1
[/mm]
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wie gehe ich am besten an die Aufgabe ran?
unser Prof gab den Hinweis [mm] g_n [/mm] := [mm] \wurzel[n]{n}-1 [/mm] und dann [mm] n=(1+g_n)^n [/mm] mit Binomialformel nach unten abschätzen, nur verstehe ich noch nicht mal was mir das genau bringen soll
bin für Tipps sehr dankbar
lg
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Hallo,
ich habe einen Beweis gefunden. Ehrlich gesagt habe ich ihn in einem Buch von Timman "Repetitorium der Analysis" Teil 1 gefunden. Ich persönlich habe ihn aber nicht verstanden. Ich hoffe, dass es dir weiterhelfen wird.
Voraussetzung:
[mm] \limes_{n \to \infty}\wurzel[n]{n} [/mm]
Behauptung:
[mm] \limes_{n \to \infty}\wurzel[n]{n}=1 [/mm]
Beweis:
Sei [mm] \epsilon>0 [/mm] belibig. Nach dem binomischen Lehrsatz gilt [mm] \left(1+\epsilon\right)>1+n\epsilon+\bruch{n\left(n-1\right)\epsilon^2}{2}[/mm] für [mm]n>2[/mm]. Nach Archimedes ist [mm]\bruch{n\left(n-1\right)\epsilon^2}{2}>1[/mm] ab einem [mm] n_0 [/mm], also [mm]\bruch{n\left(n-1\right)\epsilon^2}{2}>n[/mm] für [mm] n>n_0 [/mm]. Wegen der Monotonieder Wurzelfunktion folgt [mm] 1+\epsilon>\wurzel[n]{n}>1 [/mm] für alle [mm] n>n_0 [/mm].
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:55 Mi 22.10.2008 | | Autor: | raemic |
Hallo und vielen Dank,
na dann werde ich mal schauen ob ich das verstehe.
(ich glaube es zwar eher nicht :) stehe noch ziemlich auf Kriegsfuss mit dem Fach)
trotzdem vielen Dank
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Also ich finde solche Aufgaben auch doof. Ich weiß nicht worauf es beim Abschätzen ankommt. Außerdem kapiere ich nicht was das Epsilon für eine Funktion hat.
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 22:16 Mi 22.10.2008 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
>
> ich habe einen Beweis gefunden. Ehrlich gesagt habe ich ihn
> in einem Buch von Timman "Repetitorium der Analysis" Teil 1
> gefunden. Ich persönlich habe ihn aber nicht verstanden.
> Ich hoffe, dass es dir weiterhelfen wird.
>
> Voraussetzung:
>
> [mm]\limes_{n \to \infty}\wurzel[n]{n}[/mm]
>
> Behauptung:
>
> [mm]\limes_{n \to \infty}\wurzel[n]{n}=1[/mm]
>
> Beweis:
>
> Sei [mm]\epsilon>0[/mm] belibig. Nach dem binomischen Lehrsatz gilt
> [mm]\left(1+\epsilon\right)>1+n\epsilon+\bruch{n\left(n-1\right)\epsilon^2}{2}[/mm]
> für [mm]n>2[/mm]. Nach Archimedes ist
> [mm]\bruch{n\left(n-1\right)\epsilon^2}{2}>1[/mm] ab einem [mm]n_0 [/mm],
Hier ist ein n zu viel drin:
[mm]\bruch{1*\left(n-1\right)\epsilon^2}{2}>1[/mm] ab einem [mm]n_0 [/mm],
Gruß Abakus
> also [mm]\bruch{n\left(n-1\right)\epsilon^2}{2}>n[/mm] für [mm]n>n_0 [/mm].
> Wegen der Monotonieder Wurzelfunktion folgt
> [mm]1+\epsilon>\wurzel[n]{n}>1[/mm] für alle [mm]n>n_0 [/mm].
>
> □
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:29 Do 23.10.2008 | | Autor: | raemic |
| Aufgabe | | Beweise: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{x}=1 \forall [/mm] x [mm] \ge [/mm] 1 |
Hallo Hallo
leider habe ich den Beweis zu der vorigen Aufgabe wohl noch nicht verstanden und kann deshalb auch diese Aufgabe nicht richtig lösen.
Kann mir hier jemand einen Tipp geben wie ich bei dieser vorgehen muss?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:31 Do 23.10.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Beweise: [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{x}=1 \forall[/mm]
> x [mm]\ge[/mm] 1
> Hallo Hallo
>
> leider habe ich den Beweis zu der vorigen Aufgabe wohl noch
> nicht verstanden und kann deshalb auch diese Aufgabe nicht
> richtig lösen.
ja, und zwar definiere [mm] $h_n:=\sqrt[n]{x}-1$ [/mm] ($n [mm] \in \IN$). [/mm] Dann ist [mm] $h_n \ge [/mm] 0$ $(n [mm] \in \IN)$ [/mm] (Warum?) und daher
[mm] $$x=(1+h_n)^n=\sum_{k=0}^n [/mm] {n [mm] \choose k}h_n^k \ge n*h_n \ge [/mm] 0 [mm] \;\;\;\text{ für alle } [/mm] n [mm] \in \IN\,.$$
[/mm]
Also ist die Folge [mm] $(n*h_n)_{n \in \IN}$ [/mm] beschränkt. Was bedeutet das für die Folge [mm] $(h_n)_{n \in \IN}$?
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:43 Do 23.10.2008 | | Autor: | raemic |
> ja, und zwar definiere [mm]h_n:=\sqrt[n]{x}-1[/mm] ([mm]n \in \IN[/mm]). Dann
> ist [mm]h_n \ge 0[/mm] [mm](n \in \IN)[/mm] (Warum?)
ja [mm] \bruch{1}{\infty} [/mm] = 0 und [mm] x^0 [/mm] ist 1 somit muss es [mm] \ge [/mm] 1 sein oder?
> [mm]x=(1+h_n)^n=\sum_{k=0}^n {n \choose k}h_n^k \ge n*h_n \ge 0 \;\;\;\text{ für alle } n \in \IN\,.[/mm]
>
> Also ist die Folge [mm](n*h_n)_{n \in \IN}[/mm] beschränkt. Was
> bedeutet das für die Folge [mm](h_n)_{n \in \IN}[/mm]?
wenn eine Folge beschränkt ist heisst dass, das sie konvergent ist bzw. das sie einen Grenzwert haben kann.
stimmt das was ich da sage?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:59 Do 23.10.2008 | | Autor: | abakus |
> > ja, und zwar definiere [mm]h_n:=\sqrt[n]{x}-1[/mm] ([mm]n \in \IN[/mm]). Dann
> > ist [mm]h_n \ge 0[/mm] [mm](n \in \IN)[/mm] (Warum?)
>
> ja [mm]\bruch{1}{\infty}[/mm] = 0 und [mm]x^0[/mm] ist 1 somit muss es [mm]\ge[/mm] 1
> sein oder?
>
> > [mm]x=(1+h_n)^n=\sum_{k=0}^n {n \choose k}h_n^k \ge n*h_n \ge 0 \;\;\;\text{ für alle } n \in \IN\,.[/mm]
>
> >
> > Also ist die Folge [mm](n*h_n)_{n \in \IN}[/mm] beschränkt. Was
> > bedeutet das für die Folge [mm](h_n)_{n \in \IN}[/mm]?
>
> wenn eine Folge beschränkt ist heisst dass, das sie
> konvergent ist bzw. das sie einen Grenzwert haben kann.
>
> stimmt das was ich da sage?
Nein. Die Folge [mm] a_n=sin(\bruch{n*\pi}{2}) [/mm] ist auch beschränkt (alle Werte liegen zwischen -1 und 1), trotzdem besitzt sie keinen Grenzwert, weil die Funktionswerte munter zwischen 0, 1, 0, -1 hin und her taumeln.
Gruß Abakus
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:09 Do 23.10.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > ja, und zwar definiere [mm]h_n:=\sqrt[n]{x}-1[/mm] ([mm]n \in \IN[/mm]). Dann
> > ist [mm]h_n \ge 0[/mm] [mm](n \in \IN)[/mm] (Warum?)
>
> ja [mm]\bruch{1}{\infty}[/mm] = 0 und [mm]x^0[/mm] ist 1 somit muss es [mm]\ge[/mm] 1
> sein oder?
>
> > [mm]x=(1+h_n)^n=\sum_{k=0}^n {n \choose k}h_n^k \ge n*h_n \ge 0 \;\;\;\text{ für alle } n \in \IN\,.[/mm]
>
> >
> > Also ist die Folge [mm](n*h_n)_{n \in \IN}[/mm] beschränkt. Was
> > bedeutet das für die Folge [mm](h_n)_{n \in \IN}[/mm]?
>
> wenn eine Folge beschränkt ist heisst dass, das sie
> konvergent ist bzw. das sie einen Grenzwert haben kann.
>
> stimmt das was ich da sage?
nein, es gilt nur die Umkehrung: Eine konvergente Folge ist notwendig beschränkt.
Und das eine Folge konvergent ist, heißt nicht, dass sie einen Grenzwert haben kann, sondern, dass sie einen Grenzwert hat (besser: sie konvergiert gegen einen (und nur einen) Grenzwert). Zumindest für solche Folgen, die ihr untersucht (sonst müßten wir nun ein wenig abschweifen, und z.B. über halbmetrische Räume oder sowas sprechen...)
Für Folgen in [mm] $\IR$ [/mm] (oder [mm] $\IC$) [/mm] gilt das jedenfalls so (sofern man diese als metrische Räume auffasst, was z.B. mit der Betragsmetrik möglich ist).
Aber wir haben ja auch nicht, dass die Folge [mm] $(h_n)_n$ [/mm] beschränkt ist, gezeigt, sondern Du solltest erkennen, dass gezeigt wurde, dass die Folge [mm] $(n*h_n)_{n \in \IN}$ [/mm] beschränkt ist. Daraus folgt, dass [mm] $(h_n)_n$ [/mm] eine Nullfolge ist.
Warum? Wenn es Dir nicht klar ist:
Für jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] war:
$0 [mm] \le n*h_n \le [/mm] x$ mit einem (von [mm] $\black{n}$ [/mm] unabhängigen) festen $x [mm] \ge [/mm] 1$, also auch :
$0 [mm] \le h_n \le \frac{x}{n}$
[/mm]
Was passiert nun bei $n [mm] \to \infty$?
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:34 Do 23.10.2008 | | Autor: | raemic |
hmm ok. ich blicke da heute wohl nicht mehr durch, werde mich ev.morgen oder am weekend nochmal melden wenn ich mir das ganze nochmal in Ruhe angeschaut habe.
ach diese Analysis ist mir noch ein ungeheures Rätsel..
aber vielen Dank schon mal für deine Bemühungen..
ach wie lange brauche eigentlich Normalsterbliche um das zu verstehen :) ??
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:55 Do 23.10.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> hmm ok. ich blicke da heute wohl nicht mehr durch, werde
> mich ev.morgen oder am weekend nochmal melden wenn ich mir
> das ganze nochmal in Ruhe angeschaut habe.
>
> ach diese Analysis ist mir noch ein ungeheures Rätsel..
>
> aber vielen Dank schon mal für deine Bemühungen..
>
> ach wie lange brauche eigentlich Normalsterbliche um das zu
> verstehen :) ??
dazu bräuchte ich Deine Definition von Normalsterbliche. Eigentlich zähle ich mich zu den Normalsterblichen 
Ich kann Dir nur einen Tipp geben:
Versuche auch (nicht nur bezogen auf diese Aufgabe hier, sondern generell), wenn Du die Lösung mal (von jemanden?) bekommen hast, und Du auch glaubst, die Lösung verstanden zu haben, mal alles wegzulegen und danach die Aufgabe nochmal alleine zu lösen.
Du wirst dann merken: Wenn Du alles komplett (bzw. ohne wesentliche Lücken) so notieren kannst, und vor allem auch selbst von Deiner Lösung überzeugt bist, und das auch nach einem Vergleich mit "der Musterlösung" feststellst, dann hast Du die Aufgabe definitiv verstanden. (Und viel wichtiger: Auch viele Dinge aus der Theorie, denn die werden da ja zum Einsatz kommen.)
Ansonsten wirst Du merken, dass Du irgendwo nicht weiter kommst und vll. hilft Dir dann das "Spicken" dabei, herauszufinden, was Dir fehlt. Wenn Du diesen Prozess am Laufen hältst, dann wirst Du irgendwann im Laufe des Studiums merken, wie Dir die Aufgaben immer leichter von der Hand gehen.
Wenn Du Dir aber immer nur die Lösung vorkauen läßt und nur "nachvollziehst", na dann dauert es wesentlich länger, bis Du diesen Punkt erreicht hast.
Es ist in der Tat so: Man lernt ja hier fast ausschließlich Theorie. Die Umsetzung, also das vernünftige arbeiten mit Theorien, lernt man nur, indem man auch arbeitet. Also learning by doing
Deswegen bestehen ja auch die meisten Prof. auf dem Bearbeiten von Übungsblättern, zumal dort ja auch die grundlegensten Dinge zum Einsatz kommen sollten. Indem Sinne ist das Aufstellen eines guten Übungsblattes auch eine kleine Art mathematischer Kunst.
Und genauso kannst Du das auch mit dem Vorlesungsskript halten. Auch das, vor allem die Beweise, kann man zu Hause mit der obigen Methode nochmal für sich selbst nacharbeiten. Je mehr Du Dich so eigenständig mit der Materie auseinandersetzt, desto schneller wirst Du auch "mathematisch lernfähig(er)" und desto leichter werden Dir auch immer die Übungsaufgaben fallen.
Wobei sich das Niveau der Übungsaufgaben mit Sicherheit noch steigern wird.
Das ganze hängt aber deutlich von Deinem eigenen Einsatz ab, je weniger Du tust, desto länger wird es (i.a.) dauern...
Gruß,
Marcel
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