Grenzwert, EpsilonUmg, Folgen < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:40 So 22.02.2009 | | Autor: | ChopSuey |
| Aufgabe 1 | Berechnen Sie den Grenzwert a (falls er existiert) nachstehender Zahlenfolgen $\ [mm] \{a_n\} [/mm] $! Bestimmen Sie $\ [mm] n_0(\varepsilon)$ [/mm] derart, dass für alle $\ n > [mm] n_0(\varepsilon) [/mm] $ , $\ | [mm] a_n [/mm] - a | < [mm] \varepsilon [/mm] $ gilt.
$\ [mm] a_n [/mm] = [mm] \frac{n}{n+1}$ [/mm] |
| Aufgabe 2 | | $\ [mm] a_n [/mm] = [mm] n*\wurzel{1+\frac{1}{n}}-n$ [/mm] |
Hallo,
die Grenzwerte beider Folgen konnte ich ermitteln.
Aufgabe 1:
$\ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n [/mm] = 1 $
Aufgabe 2:
$\ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n [/mm] = [mm] \frac{1}{2} [/mm] $
Ich habe allerdings Schwierigkeiten beim ermitteln von $\ [mm] n_0(\varepsilon) [/mm] $.
Ich zeig mal, was ich so versucht habe. Denke aber weniger, dass das der richtige weg ist.
Zu Aufgabe 2:
$\ | [mm] a_n [/mm] - a | < [mm] \varepsilon [/mm] $
$\ | [mm] n*\wurzel{1+\frac{1}{n}}-n [/mm] - [mm] \frac{1}{2} [/mm] | < [mm] \varepsilon [/mm] $
$\ | [mm] n*(1+\frac{1}{n})^{\frac{1}{2}}-n [/mm] - [mm] \frac{1}{2} [/mm] | < [mm] \varepsilon [/mm] $
$\ | [mm] n*(1+\frac{1}{\wurzel{n}})-n [/mm] - [mm] \frac{1}{2} [/mm] | < [mm] \varepsilon [/mm] $
$\ | n + [mm] \frac{n}{\wurzel{n}}- [/mm] n - [mm] \frac{1}{2} [/mm] | < [mm] \varepsilon [/mm] $
$\ | [mm] \frac{n}{\wurzel{n}}- \frac{1}{2} [/mm] | < [mm] \varepsilon [/mm] $
$\ | [mm] \frac{2n}{2\wurzel{n}}- \frac{\wurzel{n}}{2\wurzel{n}} [/mm] | < [mm] \varepsilon [/mm] $
$\ | [mm] \frac{2n-\wurzel{n}}{2\wurzel{n}} [/mm] | < [mm] \varepsilon [/mm] $
Weiter komm ich leider nicht.
Ich hab auch nicht so die Idee, wie ich später weiter machen sollte.
Fallunterscheidung?
Würde mich über Hilfe freuen, bin da leider gerade Ahnungslos.
Grüße
ChopSuey
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:01 Mo 23.02.2009 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo Karl,
Jetzt seh ichs!
Vielen Dank
Gruß
ChopSuey
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:32 Mo 23.02.2009 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo,
ich konnte jetzt mit Hilfe Eurer Tipps den Bruch zu dem Ausdruck $\ [mm] \bruch{1}{\wurzel{1+\bruch{1}{n}}+1} [/mm] $ umformen.
Aber ist das wirklich nötig? Ich meine, sobald ich für $\ n $ irgendwelche Werte wähle, kann ich ja auch ohne weiteres die Folge ohne Umformung aus der Angabe entnehmen, und meine Werte für $\ n $ einsetzen, oder?
So, nun habe ich:
$\ [mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{1+\bruch{1}{n}}+1} [/mm] $
Nun heisst die Aufgabe im Übrigen
> "Bestimmen Sie $\ [mm] n_0 (\varepsilon) [/mm] $ derart, dass für alle $\ n > [mm] n_0(\varepsilon)$ [/mm] 18.6 gilt.
> (18.6) $\ | [mm] a_n [/mm] - a | < [mm] \varepsilon [/mm] $
Ich weiss nicht so recht, ob mein Ansatz richtig ist:
$\ | [mm] a_n [/mm] - a | < [mm] \varepsilon [/mm] $; $\ [mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{1+\bruch{1}{n}}+1}$; [/mm] $\ a = 1 $
$\ [mm] \vmat{ \bruch{1}{\wurzel{1+\bruch{1}{n}}+1} - 1 } [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] $
$\ [mm] \vmat{ \bruch{1}{\wurzel{1+\bruch{1}{n}}+1} - \bruch{\wurzel{1+\bruch{1}{n}}+1}{\wurzel{1+\bruch{1}{n}}+1} } [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] $
$\ [mm] \vmat{ \bruch{1-\wurzel{1+\bruch{1}{n}}+1}{\wurzel{1+\bruch{1}{n}}+1} } [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] $
$\ [mm] \vmat{ \bruch{\wurzel{1+\bruch{1}{n}}}{\wurzel{1+\bruch{1}{n}}+1} } [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] $
$\ [mm] \vmat{ \wurzel{1+\bruch{1}{n}} } [/mm] < [mm] \varepsilon*\left(\wurzel{1+\bruch{1}{n}}+1\right) [/mm] $
Ich komm hier echt nicht voran irgendwie. Bin ich überhaupt auf dem richtigen Weg?
Mal allgemein:
Für einen gegebene Folge $\ [mm] a_n [/mm] $ und dessen Grenzwert $\ a $ versucht man
den Ausdruck $\ [mm] \vmat [/mm] { [mm] a_n [/mm] - a } < [mm] \varepsilon [/mm] $ nach $\ n $ ($\ n $ kommt aus der Folge! Bsp: $\ [mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{1}{n}$) [/mm] so umzustellen, dass die Ungleichung
$\ n > [mm] \varepsilon \pm \mbox{irgendwas} [/mm] $ entsteht.
Dann ist $\ [mm] n_0(\varepsilon) [/mm] = [mm] \varepsilon \pm \mbox{irgendwas} [/mm] $, seh ich das richtig?
Der rechte Ausdruck muss dann natürlich nicht zwingend eine Summe oder eine Differenz sein.
Gruß
ChopSuey
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:43 Mo 23.02.2009 | | Autor: | fred97 |
Die Folge
[mm]\ a_n = \bruch{1}{\wurzel{1+\bruch{1}{n}}+1}[/mm]
konvergiert doch gegen $a = 1/2$ !!
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:52 Mo 23.02.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du kannst nicht weiter kommen weil du den falschen GW eingesetzt hast.
also setz 1/2 ein.
Dann wieder erweitern (3. bin) so dass der Zaehler keine Wurzel erhaelt.
Nenner ruhog grob abschaetzen (vergroessern) und du findest ein n0
Was du beschriebst ist falsch!
[mm] n(\epsilon) [/mm] kann etwa [mm] 1/\epsilon [/mm] sein , oder [mm] 1/5\epsilon^2
[/mm]
i.A. ist n gross wenn [mm] \epsilon [/mm] klein ist.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:40 Mo 23.02.2009 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo Leduart,
> Hallo
> Du kannst nicht weiter kommen weil du den falschen GW
> eingesetzt hast.
> also setz 1/2 ein.
Ja, stimmt 
> Dann wieder erweitern (3. bin) so dass der Zaehler keine
> Wurzel erhaelt.
Ich krieg's nicht hin. Hab schon alle möglichen Umformungen und Erweiterungen versucht.
Die seitenlange Rechnerei bringt mich immer zu einem Punkt, wo's nicht weitergeht.
Muss man wirklich so viel Umformen und Herumrechnen, um ein $\ [mm] n_0 (\varepsilon)$ [/mm] zu bestimmen??
> Nenner ruhog grob abschaetzen (vergroessern) und du findest
> ein n0
> Was du beschriebst ist falsch!
> [mm]n(\epsilon)[/mm] kann etwa [mm]1/\epsilon[/mm] sein , oder
> [mm]1/5\epsilon^2[/mm]
> i.A. ist n gross wenn [mm]\epsilon[/mm] klein ist.
Den Teil versteh ich nicht ganz. Bezieht sich das darauf, dass ich meinte, dass $\ [mm] n_0 [/mm] = [mm] \varepsilon \pm \mbox{irgendwas} [/mm] $ ist? Mir ist schon klar, dass auf der rechten Seite das $\ [mm] \varepsilon$ [/mm] auch im Nenner eines Bruches oder mit einer reellen Zahl multipliziert sein kann.
Das Problem ist glaube ich, dass ich noch immer nicht ganz dahinter gekommen bin, wie man überhaupt allgemein ein solches $\ [mm] n_0(\varepsilon) [/mm] $ ermittelt.
Das was ich vorhin schrieb, schien mir das einzig logische zu sein.
Hat jemand einen Link oder ähnliches, in dem ich Nachsehen kann, wie ich ein $\ [mm] n_0(\varepsilon)$ [/mm] überhaupt richtig ermittle?
Ich hab die Idee eigentlich schon verstanden, dass ab einem bestimmten $\ [mm] n_0(\varepsilon)$ [/mm] alle Glieder der Folge in der $\ [mm] \varepsilon$-Umgebung [/mm] des Grenzwertes liegen, mit $\ [mm] \varepsilon [/mm] > 0 $.
Bloß komme ich nicht dahinter, wie ich ein solches $\ [mm] n_0 [/mm] $ ermitteln kann, bzw wie man es richtig macht.
Möglicherweise findet sich ja auch wer, der mir durch den einen oder anderen Schritt bei dieser Aufgabe hier auf den Weg helfen kann.
Würde mich freuen, möchte das Thema langsam verstehen.
Bin schon am Verzweifeln :-/
> Gruss leduart
Gruß
ChopSuey
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:25 Mo 23.02.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo mandy
ich fuehr dirs ausnahmsweise mal vor:
$ \ [mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{1+\bruch{1}{n}}+1} [/mm] $
du willst
[mm] \bruch{1}{\wurzel{1+\bruch{1}{n}}+1}-1/2<\epsilon
[/mm]
[mm] \bruch{1}{\wurzel{1+\bruch{1}{n}}+1}-1/2=/bruch{2-\wurzel{1+\bruch{1}{n}}+1}{2*(\wurzel{1+\bruch{1}{n}}+1}
[/mm]
[mm] \bruch{2-\wurzel{1+\bruch{1}{n}}+1}{2*(\wurzel{1+\bruch{1}{n}}+1}=\bruch{1-\wurzel{1+\bruch{1}{n}}})*(\wurzel{1+\bruch{1}{n}+1}{2*(\wurzel{1+\bruch{1}{n}}+1)^2}=
[/mm]
[mm] \bruch{1^2-(1+\bruch{1}{n})}{2*(\wurzel{1+\bruch{1}{n}}+1)^2}
[/mm]
jetzt vergroessere ich den Nenner :
[mm] 2*(\wurzel{1+\bruch{1}{n}}+1)^2<2*3
[/mm]
und habe:
[mm] |\bruch{-\bruch{1}{n})}{2*(\wurzel{1+\bruch{1}{n}}+1)^2}|<1/6n
[/mm]
Damit haben wir, da das [mm] <\epsilon [/mm] sein soll [mm] 1/6n<\epsilon [/mm] oder [mm] n>1/(6\epsilon) [/mm] damit hast du dein [mm] n_0
[/mm]
so aehnlich geht man immer vor.du schaetzest deine Differen [mm] |a_n-a| [/mm] ab, bis du nur noch nen einfachen Ausdruck mit n oder [mm] n^2 [/mm] oder sowas hast und das muss dann so gewaehlt werden, dass es kleiner [mm] \epsilon [/mm] ist.
einfachstes Beispiel [mm] a_n=1+1/n [/mm] ;a=1
[mm] |an-a|=1\n [/mm] also [mm] n>1/\epsilon
[/mm]
anderes Bsp
[mm] a_n=e^{-n} [/mm] a=0 |an-a|=e^-n
also [mm] n>ln(1/\epsilon)
[/mm]
usw.
Wenn ich mit den vielen wurzeln und bruechen mich verschrieben habe, wundert es mich nicht, dann kriegst du aber trotzdem hoffentlich die Idee mit.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:58 Mo 23.02.2009 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo Leduart,
> Hallo mandy
Wer ist Mandy? :-D
> ich fuehr dirs ausnahmsweise mal vor:
> [mm]\ a_n = \bruch{1}{\wurzel{1+\bruch{1}{n}}+1}[/mm]
> du willst
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{1+\bruch{1}{n}}+1}-1/2<\epsilon[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{1+\bruch{1}{n}}+1}-1/2=/bruch{2-\wurzel{1+\bruch{1}{n}}+1}{2*(\wurzel{1+\bruch{1}{n}}+1}[/mm]
>
> [mm]\bruch{2-\wurzel{1+\bruch{1}{n}}+1}{2*(\wurzel{1+\bruch{1}{n}}+1}=\bruch{1-\wurzel{1+\bruch{1}{n}}})*(\wurzel{1+\bruch{1}{n}+1}{2*(\wurzel{1+\bruch{1}{n}}+1)^2}=[/mm]
>
> [mm]\bruch{1^2-(1+\bruch{1}{n})}{2*(\wurzel{1+\bruch{1}{n}}+1)^2}[/mm]
Bis hier bin ich auch noch gekommen, weiter leider nicht.
>
> jetzt vergroessere ich den Nenner :
> [mm]2*(\wurzel{1+\bruch{1}{n}}+1)^2<2*3[/mm]
> und habe:
>
> [mm]|\bruch{-\bruch{1}{n})}{2*(\wurzel{1+\bruch{1}{n}}+1)^2}|<1/6n[/mm]
Diesen Schritt verstehe ich nicht. Den Nenner vergrößern? Den Bruch, der dann folgt, versteh ich dann leider auch nicht mehr.
> Damit haben wir, da das [mm]<\epsilon[/mm] sein soll [mm]1/6n<\epsilon[/mm]
> oder [mm]n>1/(6\epsilon)[/mm] damit hast du dein [mm]n_0[/mm]
>
> so aehnlich geht man immer vor.du schaetzest deine Differen
> [mm]|a_n-a|[/mm] ab, bis du nur noch nen einfachen Ausdruck mit n
> oder [mm]n^2[/mm] oder sowas hast und das muss dann so gewaehlt
> werden, dass es kleiner [mm]\epsilon[/mm] ist.
>
> einfachstes Beispiel [mm]a_n=1+1/n[/mm] ;a=1
> [mm]|an-a|=1\n[/mm] also [mm]n>1/\epsilon[/mm]
> anderes Bsp
> [mm]a_n=e^{-n}[/mm] a=0 |an-a|=e^-n
> also [mm]n>ln(1/\epsilon)[/mm]
> usw.
Das versteh ich wiederum. Sieht gut aus, vielen herzlichen Dank für die große Mühe!
>
> Wenn ich mit den vielen wurzeln und bruechen mich
> verschrieben habe, wundert es mich nicht, dann kriegst du
> aber trotzdem hoffentlich die Idee mit.
Bis zur Mitte etwa hatte ich ja das meiste auf dem Papier noch stehen, ließ sich demnach gut nachvollziehen.
> Gruss leduart
>
>
>
Grüße
ChopSuey
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Hallo ChopSuey,
> Wer ist Mandy? :-D
Das muss dein Pseudonym sein 
> Bis hier bin ich auch noch gekommen, weiter leider nicht.
>
> >
> > jetzt vergroessere ich den Nenner :
gemeint ist eher "verkleinere den Nenner"
Einen (positiven) Bruch kannst du vergrößern, indem du den Zähler vergrößerst oder den Nenner verkleinerst
> > [mm]2*(\wurzel{1+\bruch{1}{n}}+1)^2<2*3[/mm]
Das stimmt ja nicht, linkerhand steht [mm] $2\cdot{}(2+\delta)^2$ [/mm] mit einem [mm] $\delta>0$, [/mm] also ist die Klammer (im Quadrat) schon größer als 4, die gesamte linke Seite also größer als 8 und damit nicht kleiner als [mm] 6=2\cdot{}3
[/mm]
> > und habe:
> >
> >
> [mm]|\bruch{-\bruch{1}{n}}{2*(\wurzel{1+\bruch{1}{n}}+1)^2}|<1/6n[/mm]
>
> Diesen Schritt verstehe ich nicht. Den Nenner vergrößern?
> Den Bruch, der dann folgt, versteh ich dann leider auch
> nicht mehr.
Löse mal besser zuerst den Betrag auf:
[mm] $\left|\frac{\frac{-1}{n}}{2\cdot{}\left(\sqrt{1+\bruch{1}{n}}+1\right)^2}\right|=\frac{\frac{1}{n}}{2\cdot{}\left(\sqrt{1+\bruch{1}{n}}+1\right)^2}=\frac{1}{2n\cdot{}\left(\sqrt{1+\bruch{1}{n}}+1\right)^2}$
[/mm]
Nun den Nenner verkleinern
Im Nenner steht ein Ausdruck, der für alle [mm] $n\in\IN$ [/mm] größer als 8n ist (siehe oben: Klammer größer als 2, Quadrat also größer als 4 ...)
Also können wir ihn verkleinern, indem wir stattdessen 8n schreiben
Damit: [mm] $\left|a_n-\frac{1}{2}\right|=.....<\frac{1}{8n}$
[/mm]
Und das soll nun [mm] $<\varepsilon$ [/mm] sein für ein beliebig vorgegebenes [mm] $\varepsilon>0$
[/mm]
Also [mm] $\frac{1}{8n}\overset{!}{<}\varepsilon$
[/mm]
Löse das nach $n$ auf und du hast dein [mm] $n_0$ [/mm] konstruiert
>
> Grüße
> ChopSuey
>
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:56 Mo 23.02.2009 | | Autor: | ChopSuey |
N'Abend Schachuzipus,
> Hallo ChopSuey,
>
>
> > Wer ist Mandy? :-D
>
> Das muss dein Pseudonym sein
Scheint so
>
>
> > Bis hier bin ich auch noch gekommen, weiter leider nicht.
> >
> > >
> > > jetzt vergroessere ich den Nenner :
>
> gemeint ist eher "verkleinere den Nenner"
>
> Einen (positiven) Bruch kannst du vergrößern, indem du den
> Zähler vergrößerst oder den Nenner verkleinerst
Ja, schon. Das leuchtet mir ein, bloß seh ich das um ehrlich zu sein zum ersten Mal.
Ich kenne halt das Erweitern von Brüchen, um sie zu einem handlicheren Ausdruck umzuformen, wie's weiter oben schon der Fall war. Das Verkleinern/Vergrößern von Nenner/Zähler kenn ich leider (noch) nicht.
>
> > > [mm]2*(\wurzel{1+\bruch{1}{n}}+1)^2<2*3[/mm]
>
> Das stimmt ja nicht, linkerhand steht [mm]2\cdot{}(2+\delta)^2[/mm]
> mit einem [mm]\delta>0[/mm], also ist die Klammer (im Quadrat) schon
> größer als 4, die gesamte linke Seite also größer als 8 und
> damit nicht kleiner als [mm]6=2\cdot{}3[/mm]
Ich hätte in diesem Fall behauptet, dass hier etwas wie [mm]2\cdot{}(\delta+1)^2[/mm] mit $\ [mm] \delta [/mm] = [mm] \wurzel{1+\bruch{1}{n}} [/mm] $ und $\ [mm] \delta [/mm] > 1 $ für alle $\ n [mm] \in \IN [/mm] $ steht.
Dann wäre die Klammer (Biom > aufgelöst) ebenfalls größer als 4, und somit der ganze Ausdruck größer als 8.
Oder hab ich etwas übersehen bzw falsch aufgefasst?
>
> > > und habe:
> > >
> > >
> >
> [mm]|\bruch{-\bruch{1}{n}}{2*(\wurzel{1+\bruch{1}{n}}+1)^2}|<1/6n[/mm]
> >
> > Diesen Schritt verstehe ich nicht. Den Nenner vergrößern?
> > Den Bruch, der dann folgt, versteh ich dann leider auch
> > nicht mehr.
>
>
> Löse mal besser zuerst den Betrag auf:
>
> [mm]\left|\frac{\frac{-1}{n}}{2\cdot{}\left(\sqrt{1+\bruch{1}{n}}+1\right)^2}\right|=\frac{\frac{1}{n}}{2\cdot{}\left(\sqrt{1+\bruch{1}{n}}+1\right)^2}=\frac{1}{2n\cdot{}\left(\sqrt{1+\bruch{1}{n}}+1\right)^2}[/mm]
>
> Nun den Nenner verkleinern
>
> Im Nenner steht ein Ausdruck, der für alle [mm]n\in\IN[/mm] größer
> als 8n ist (siehe oben: Klammer größer als 2, Quadrat also
> größer als 4 ...)
>
> Also können wir ihn verkleinern, indem wir stattdessen 8n
> schreiben
Wir verkleinern den Nenner also, in dem wir in etwa abschätzen wie groß dieser ist, und für ihn dann diesen Näherungswert angeben. Stimmt das?
>
> Damit: [mm]\left|a_n-\frac{1}{2}\right|=.....<\frac{1}{8n}[/mm]
>
> Und das soll nun [mm]<\varepsilon[/mm] sein für ein beliebig
> vorgegebenes [mm]\varepsilon>0[/mm]
>
> Also [mm]\frac{1}{8n}\overset{!}{<}\varepsilon[/mm]
>
> Löse das nach [mm]n[/mm] auf und du hast dein [mm]n_0[/mm] konstruiert
Gut, das war dann nicht mehr schwer $\ [mm] n_0 [/mm] = [mm] \bruch{1}{8\varepsilon} [/mm] $
>
>
> >
> > Grüße
> > ChopSuey
> >
>
>
> LG
>
> schachuzipus
>
Würde mich freuen, wenn sich noch die letzten Unklarheiten klären.
Grüße
ChopSuey
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Ahoi!
> > Einen (positiven) Bruch kannst du vergrößern, indem du den
> > Zähler vergrößerst oder den Nenner verkleinerst
>
> Ja, schon. Das leuchtet mir ein, bloß seh ich das um
> ehrlich zu sein zum ersten Mal.
> Ich kenne halt das Erweitern von Brüchen, um sie zu einem
> handlicheren Ausdruck umzuformen, wie's weiter oben schon
> der Fall war. Das Verkleinern/Vergrößern von Nenner/Zähler
> kenn ich leider (noch) nicht.
Hier wird das bloße Erweitern nur nicht besonders handlich, um das [mm] $n_0$ [/mm] konkret abzugreifen ...
Merk's dir so: [mm] $\frac{1}{3}<\frac{1}{2}$ [/mm] (Nenner verkleinert --> Bruch vergrößert)
und [mm] $\frac{1}{3}<\frac{2}{3}$ [/mm] (Zähler vergrößert --> Bruch vergrößert)
>
> >
> > > > [mm]2*(\wurzel{1+\bruch{1}{n}}+1)^2<2*3[/mm]
> >
> > Das stimmt ja nicht, linkerhand steht [mm]2\cdot{}(2+\delta)^2[/mm]
> > mit einem [mm]\delta>0[/mm], also ist die Klammer (im Quadrat) schon
> > größer als 4, die gesamte linke Seite also größer als 8 und
> > damit nicht kleiner als [mm]6=2\cdot{}3[/mm]
>
> Ich hätte in diesem Fall behauptet, dass hier etwas wie
> [mm]2\cdot{}(\delta+1)^2[/mm] mit [mm]\ \delta = \wurzel{1+\bruch{1}{n}}[/mm]
> und [mm]\ \delta > 1[/mm] für alle [mm]\ n \in \IN[/mm] steht.
Das ist genau dasselbe!
Ich hatte den Wurzelausdruck [mm] $\sqrt{1+\frac{1}{n}}$ [/mm] als [mm] $\underbrace{1+\delta'}_{= \ \text{dein} \ \delta}$ [/mm] geschrieben ...
>
> Dann wäre die Klammer (Biom > aufgelöst) ebenfalls größer
> als 4, und somit der ganze Ausdruck größer als 8.
Eben
>
> Oder hab ich etwas übersehen bzw falsch aufgefasst?
Nein, so geht's genauso gut!
> > Löse mal besser zuerst den Betrag auf:
> >
> >
> [mm]\left|\frac{\frac{-1}{n}}{2\cdot{}\left(\sqrt{1+\bruch{1}{n}}+1\right)^2}\right|=\frac{\frac{1}{n}}{2\cdot{}\left(\sqrt{1+\bruch{1}{n}}+1\right)^2}=\frac{1}{2n\cdot{}\left(\sqrt{1+\bruch{1}{n}}+1\right)^2}[/mm]
> >
> > Nun den Nenner verkleinern
> >
> > Im Nenner steht ein Ausdruck, der für alle [mm]n\in\IN[/mm] größer
> > als 8n ist (siehe oben: Klammer größer als 2, Quadrat also
> > größer als 4 ...)
> >
> > Also können wir ihn verkleinern, indem wir stattdessen 8n
> > schreiben
>
> Wir verkleinern den Nenner also, in dem wir in etwa
> abschätzen wie groß dieser ist, und für ihn dann diesen
> Näherungswert angeben. Stimmt das?
>
> >
> > Damit: [mm]\left|a_n-\frac{1}{2}\right|=.....<\frac{1}{8n}[/mm]
> >
> > Und das soll nun [mm]<\varepsilon[/mm] sein für ein beliebig
> > vorgegebenes [mm]\varepsilon>0[/mm]
> >
> > Also [mm]\frac{1}{8n}\overset{!}{<}\varepsilon[/mm]
> >
> > Löse das nach [mm]n[/mm] auf und du hast dein [mm]n_0[/mm] konstruiert
>
> Gut, das war dann nicht mehr schwer [mm]\ n_0 = \bruch{1}{8\varepsilon}[/mm]
Jein, [mm] $n_0>\frac{1}{8\varepsilon}$ [/mm] (als nächstgrößere natürliche Zahl)
Entweder schreibst du (etwas lax) [mm] $n_0>...$ [/mm] oder genau [mm] $n_0=\left[\frac{1}{8n}\right]+1$ [/mm] [] ist die Gaußklammer.
So hast du auch wirklich eine natürliche Zahl dastehen für das [mm] $n_0$ [/mm] (wie in der Definition)
> Würde mich freuen, wenn sich noch die letzten Unklarheiten
> klären.
Ich hoffe, das hat geklappt. Falls nicht, einfach weiterbohren ...
> Grüße
> ChopSuey
>
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:17 Di 24.02.2009 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo,
ich versteh's jetzt glaub' ich ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Wenn noch etwas unklar sein sollte, meld ich mich nochmal.
Vielen Dank für Eure Mühen!
Grüße
ChopSuey
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Hallo ChopSuey,
Siehe dir mal ![[]](/images/popup.gif) folgenden Skript auf Seite 4 (bzw. Seite 17 Skript-Zählung) an. Dort ist vom Schachtelungssatz der Analysis die Rede.
Es müßte also reichen, wenn du [mm]\textstyle\lim_{n\to\infty}{\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{n}\right)}[/mm] und [mm]\textstyle\lim_{n\to\infty}{\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{n}\right)}[/mm] bestimmst und dann folgende Ungleichungskette beweist:
[mm]\textcolor{red}{\frac{1}{2}-\frac{1}{n}}\leqslant\textcolor{blue}{n\sqrt{1+\frac{1}{n}}-n}\leqslant\textcolor{magenta}{\frac{1}{2}+\frac{1}{n}}[/mm]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruß V.N.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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![[eek]](/images/smileys/eek.gif "[eek]"){kind=small}
Dieser Schritt ist gruselig!
