Grenzwert/Fouriertransformiert < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:52 Mi 13.04.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo nochmal!
Hier noch eine: 
Sei [mm] f\in L_{\IC}^1(\IR^n). [/mm] Für [mm] k\in\IN [/mm] sei definiert
[mm] f_k(x)=f(x) exp(-\bruch{||x||^2}{2k^2}).
[/mm]
Zeigen Sie, dass dann für alle [mm] \xi\in\IR^n [/mm] gilt:
[mm] \hat{f_k}(\xi)\to\hat{f}(\xi) [/mm] für [mm] k\to\infty.
[/mm]
Hierbei bezeichnet [mm] \hat{f} [/mm] die Fourier-Transformierte von f. Rechtfertigen Sie Ihre einzelnen Rechenschritte.
Ich habe da zuerst mal die Fourier-Transformierte von f und [mm] f_k [/mm] aufgeschrieben:
[mm] \hat{f}(\xi)=\bruch{1}{(2\pi)^\bruch{n}{2}}\integral{f(x)*e^{-i}d\xi}
[/mm]
[mm] \hat{f_k}(\xi)=\bruch{1}{(2\pi)^\bruch{n}{2}}\integral{f(x)*e^{-\bruch{||x||^2}{2k^2}}*e^{-i}d\xi}
[/mm]
Dann habe ich mal behauptet, es gäbe eine Lebesgue-Schranke (die ich leider nicht gefunden habe), sodass ich schreiben darf:
[mm] \lim_{k\to\infty}\hat{f_k}(\xi) [/mm] = [mm] \bruch{1}{(2\pi)^\bruch{n}{2}}\integral{\lim_{k\to\infty}f(x)*e^{-\bruch{||x||^2}{2k^2}}*e^{-i}d\xi}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{(2\pi)^\bruch{n}{2}}\integral{f(x)*e^{-i}d\xi}
[/mm]
da [mm] \lim_{k\to\infty}e^{-\bruch{||x||^2}{2k^2}}=e^0=1
[/mm]
Nun habe ich aber leider keine Lebesgue-Schranke gefunden, und nach der Klausur meinte jemand, er hätte diese Aufgabe mit Beppo Levi gelöst. Da habe ich mich dann gefragt, ob das wohl richtiger wäre... Weiß man denn, dass die Folge monoton ist? Ich meine, man kennt das f(x) ja gar nicht...
Aber die Umformungen wären doch gleich, ob ich es nun wegen Beppo Levi oder wegen der majorisierten Konvergenz mache, oder? Stimmt das denn ansonsten so?
Viele Grüße
Bastiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:39 Mi 13.04.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
Es gilt doch einfach
$|f(x) [mm] \cdot \underbrace{e^{-\frac{\Vert x \Vert^2}{2k^2}}}_{<1} \cdot e^{-i}| \le [/mm] |f(x)|$
wegen
[mm] $|e^{-i}| [/mm] = [mm] |\cos() [/mm] - [mm] i\sin()|=1$.
[/mm]
Damit ist einfach $|f|$ eine geeignete Schranke, um den Satz von der majoristierten Konvergenz anzuwenden.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:53 Mi 13.04.2005 | | Autor: | Bastiane |
Lieber Stefan!
Also war das im Prinzip richtig, nur dass ich die Schranke nicht gefunden habe, oder?
Was meinst du, wie viele von den 12 Punkten ich dafür bekommen habe?
Irgendwie finde ich, gab es viel zu viele Punkte für jede Aufgabe - so viel konnte man da doch gar nicht schreiben...
Viele Grüße
Christiane
![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]")
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