Grenzwert Funktion, Konstante < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:25 Di 24.11.2009 | | Autor: | danschi |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo zusammen!
Ich habe gerade eine ziemliche Unsicherheit. Folgende Ausgangslage:
Ganz allgemein sei [mm]x \mapsto f(x)[/mm] irgendeine reellwertige Funktion auf den reellen Zahlen, also auch nicht explizit stetig, sonst wird das unten wahrscheinlich trivial.
Angenommen, es ist bekannt, dass für eine beliebige Stelle [mm]a[/mm] und eine reelle Konstante [mm]k[/mm] der Limes [mm]\lim_{x \to a} kf(x)[/mm] existiert. Kann ich dann allein daraus auf die Existenz von [mm]\lim_{x \to a} f(x)[/mm] schliessen und die Konstante herausziehen und vor den Limes schreiben? Darf man das immer? Oder darf man dies nur tun, wenn man weiss, dass der Grenzwert welcher nachher dasteht existiert? Auf der anderen Seite kann ich aber auch die Quotientenregel verwenden und mir die Konstante als konstante Funktion (deren Grenzwert überall existiert) vorstellen?
Wäre froh um eine kurze Hilfestellung. Ich brüte schon länger über dieser Frage und bin erst am Beginn des Mathematikstudiums.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:37 Di 24.11.2009 | | Autor: | andreas |
hi
falls [mm] $\lim_{x \to a} [/mm] kf(x) = g [mm] \in \IR$ [/mm] heißt dies doch (je nach definition), dass es für jedes [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ ein [mm] $\delta [/mm] > 0$ gibt so dass für alle $x$ mit $|x - a| < [mm] \delta$ [/mm] gilt: $|kf(x) - g| < [mm] \varepsilon$. [/mm] dann gilt aber für alle $x$ mit $|x - a| < [mm] \delta$ [/mm] auch [mm] $\left|f(x) - \frac{g}{k}\right| [/mm] < [mm] \frac{\varepsilon}{k}$, [/mm] also folgt [mm] $\lim_{x \to a} [/mm] f(x) = [mm] \frac{g}{k}$.
[/mm]
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:08 Di 24.11.2009 | | Autor: | danschi |
Hallo andreas
Danke für deine Antwort! Mir ist nicht ganz klar, wie du auf
[mm]
$ \left|f(x) - \frac{g}{k}\right| < \frac{\varepsilon}{k} $
[/mm]
kommst. Ich darf doch im Betrag nicht einfach durch k dividieren?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:11 Di 24.11.2009 | | Autor: | andreas |
hi
warum nicht?
eine gültige ungleichung durch $k > 0$ zu dividieren ist doch eine erlaubte äquivalenzumfomung.
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:25 Di 24.11.2009 | | Autor: | danschi |
Aber [mm]|a - b| / c[/mm] ist doch nicht das gleiche wie [mm] \left|\frac{a}{c} - \frac{b}{c}\right|[/mm] ? Mit [mm]|c|[/mm] würde ich es verstehen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:43 Di 24.11.2009 | | Autor: | fred97 |
> Aber [mm]|a - b| / c[/mm] ist doch nicht das gleiche wie
> [mm]\left|\frac{a}{c} - \frac{b}{c}\right|[/mm] ? Mit [mm]|c|[/mm] würde ich
> es verstehen.
Du hast völlig recht: [mm]|a - b| / |c|= |\frac{a}{c} - \frac{b}{c}|[/mm]
Ist k [mm] \not= [/mm] 0 und ex. $ [mm] \lim_{x \to a} [/mm] kf(x) $ , so ex. $ [mm] \lim_{x \to a} [/mm] f(x) $
Ist k = 0, so dürfte klar sein, dass obiges i.a. nicht gilt
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:32 Di 24.11.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo andreas,
> eine gültige ungleichung durch [mm]k > 0[/mm] zu dividieren ist
> doch eine erlaubte äquivalenzumfomung.
Klar. Aber bisher war nur [mm] k\in\IR [/mm] bekannt, nicht k>0.
lg
reverend
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