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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:11 Sa 12.11.2011 | | Autor: | briddi |
| Aufgabe | Für a,b>0 gilt:
[mm] \bruch{\pi(ax)}{\pi(bx)}=\bruch{a}{b} [/mm] für [mm] x\to \infty. [/mm] |
Hallo,
ich hab zuerst einmal den Primzahlsatz angewendet, der für große x gilt, also
[mm] \bruch{\pi(ax)}{\pi(bx)}=\bruch{\bruch{ax}{ln(ax)}}{\bruch{bx}{ln(bx)}}
[/mm]
Macht man davon die Grenzwertbetrachtung, dann ergibt sich:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{ax}{bx}*\bruch{ln(bx)}{ln(ax)}=\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{a}{b}*\bruch{ln(bx)}{ln(ax)}=\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{a}{b}*\bruch{\bruch{b}{bx}}{\bruch{a}{ax}}= \bruch{a}{b}
[/mm]
Meine Frage dazu wäre, da Grenzwertberechungen nun schon etwas her sind: Ist das so richtig?
Darf man bei Grenzwertbetrachtungen "x kürzen"? Mir war im Hinterkopf, dass man das nicht darf,aber ich wüsste nicht wieso.
Dürfte man die Regel von L'Hospital auch auf zwei Faktoren getrennt anwenden, also z.B.
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{ax}{bx}*\bruch{ln(bx)}{ln(ax)}
[/mm]
Dürfte ich hier sowohl bei [mm] \bruch{ax}{bx} [/mm] als auch von [mm] \bruch{ln(bx)}{ln(ax)} [/mm] L'hospital anwenden und am Ende wieder multiplizieren? Oder geht das nur, wenn ein echter Grenzwert existiert?
Danke,
briddi
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Hallo briddi,
da scheint das einzige Problem in der Anwendung der  Logarithmusgesetze zu liegen.
> Für a,b>0 gilt:
> [mm]\bruch{\pi(ax)}{\pi(bx)}=\bruch{a}{b}[/mm] für [mm]x\to \infty.[/mm]
>
> Hallo,
> ich hab zuerst einmal den Primzahlsatz angewendet, der
> für große x gilt, also
>
> [mm]\bruch{\pi(ax)}{\pi(bx)}=\bruch{\bruch{ax}{ln(ax)}}{\bruch{bx}{ln(bx)}}[/mm]
Gut so. Das ist der richtige Ansatz. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Macht man davon die Grenzwertbetrachtung, dann ergibt
> sich:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{ax}{bx}*\bruch{ln(bx)}{ln(ax)}=\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{a}{b}*\bruch{ln(bx)}{ln(ax)}=\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{a}{b}*\bruch{\bruch{b}{bx}}{\bruch{a}{ax}}= \bruch{a}{b}[/mm]
Nein, das stimmt nicht.
> Meine Frage dazu wäre, da Grenzwertberechungen nun schon
> etwas her sind: Ist das so richtig?
> Darf man bei Grenzwertbetrachtungen "x kürzen"?
Doch, man darf. Vor dem Grenzübergang ist x doch definiert und endlich, also auch kürzbar.
> Mir war
> im Hinterkopf, dass man das nicht darf,aber ich wüsste
> nicht wieso.
Richtig überlegt. Und Dein Hinterkopf hat falsche Informationen.
Nach dem Grenzübergang kannst Du aber nicht mehr kürzen, denn [mm] \bruch{\infty}{\infty} [/mm] ist nicht definiert und kann jeden beliebigen Wert in [mm] \IR_{0}^{+} [/mm] annehmen.
Aber erst einmal zurück zu Deiner Umformung oben.
Es ist [mm] \ln{(ax)}=\ln{a}+\ln{x}, [/mm] entsprechend für [mm] \ln{(bx)}.
[/mm]
[mm] \ln{a} [/mm] und [mm] \ln{b} [/mm] sind feste Zahlen (die man nicht erst noch bestimmen muss), während für [mm] x\to\infty [/mm] auch [mm] \ln{x} [/mm] gegen unendlich geht.
> Dürfte man die Regel von L'Hospital auch auf zwei Faktoren
> getrennt anwenden, also z.B.
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{ax}{bx}*\bruch{ln(bx)}{ln(ax)}[/mm]
Sehr gute Frage. Die Antwort heißt im wesentlichen "Ja, wenn".
> Dürfte ich hier sowohl bei [mm]\bruch{ax}{bx}[/mm] als auch von
> [mm]\bruch{ln(bx)}{ln(ax)}[/mm] L'hospital anwenden und am Ende
> wieder multiplizieren? Oder geht das nur, wenn ein echter
> Grenzwert existiert?
Das geht nur, wenn beide Grenzwerte existieren (also die beider Brüche). Dann sind die Grenzwertsätze anwendbar und dadurch auch l'Hospital. Existiert aber einer davon nicht (heißt hier also: ergibt unendlich), dann liefert diese Aufteilung keine Aussage. Der Nachweis, dass ein Grenzwert nicht existiert, ist damit aber noch nicht erbracht.
Wenn nötig, könnte ich wohl auch noch ein Gegenbeispiel konstruieren, aber dazu habe ich im Moment wenig Lust. Es ist spät...
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:57 Mo 14.11.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > ich hab zuerst einmal den Primzahlsatz angewendet, der
> > für große x gilt, also
> >
> >
> [mm]\bruch{\pi(ax)}{\pi(bx)}=\bruch{\bruch{ax}{ln(ax)}}{\bruch{bx}{ln(bx)}}[/mm]
Naja, das gilt eben nicht. Es ist fuer grosse $x$ zwar fast gleich, aber eben nicht gleich.
> > Dürfte man die Regel von L'Hospital auch auf zwei Faktoren
> > getrennt anwenden, also z.B.
> > [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{ax}{bx}*\bruch{ln(bx)}{ln(ax)}[/mm]
>
> Sehr gute Frage. Die Antwort heißt im wesentlichen "Ja,
> wenn".
>
> > Dürfte ich hier sowohl bei [mm]\bruch{ax}{bx}[/mm] als auch von
> > [mm]\bruch{ln(bx)}{ln(ax)}[/mm] L'hospital anwenden und am Ende
> > wieder multiplizieren? Oder geht das nur, wenn ein echter
> > Grenzwert existiert?
>
> Das geht nur, wenn beide Grenzwerte existieren (also die
> beider Brüche). Dann sind die Grenzwertsätze anwendbar
> und dadurch auch l'Hospital. Existiert aber einer davon
> nicht (heißt hier also: ergibt unendlich), dann liefert
> diese Aufteilung keine Aussage. Der Nachweis, dass ein
> Grenzwert nicht existiert, ist damit aber noch nicht
> erbracht.
In diesem Fall klappt das gut, da [mm] $\frac{ax}{bx} [/mm] = [mm] \frac{a}{b}$ [/mm] ist und man L'Hopital fuer diesen Faktor gar nicht braucht. Man hat also [mm] $\lim \frac{a}{b} \frac{\ln(bx)}{\ln(ax)} [/mm] = [mm] \frac{a}{b} \lim \frac{\ln(bx)}{\ln(ax)}$ [/mm] und muss L'Hopital nur auf [mm] $\lim \frac{\ln(bx)}{\ln(ax)}$ [/mm] anwenden.
> Wenn nötig, könnte ich wohl auch noch ein Gegenbeispiel
> konstruieren, aber dazu habe ich im Moment wenig Lust. Es
> ist spät...
Ein einfaches Gegenbeispiel, was evtl. nicht alles abdeckt:
Im Fall [mm] $\frac{x}{x} [/mm] = [mm] \frac{x^2}{x} \cdot \frac{x}{x^2}$ [/mm] ist der Grenzwert von einem Faktor 0, der vom anderen Faktor [mm] $\infty$. [/mm] Damit laesst sich L'Hopital auf keinen der beiden Faktoren anwenden, jedoch auf das Produkt.
LG Felix
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