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Forum "Folgen und Reihen" - Grenzwert Reihe
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Grenzwert Reihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:50 So 16.03.2014
Autor: geigenzaehler

Aufgabe
Zeige Konvergenz und bestimme eine Abschätzung für den Grenzwert der Reihe
[mm] \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{2+q^n}{2^n+n^2}, [/mm]
|q|<1

In der Lösg. lese ich:

F. alle n aus IN ist

[mm] -1 => [mm] 0\le\bruch{2+q^n}{2^n+n^2}\le3/2^n [/mm]

Hier soll wahrscheinlich die konvergente geometrische Reihe [mm] \summe_{i=1}^{\infty}1/2^n [/mm] als Majorante herhalten.

Aber woher kommt die 3 im Zähler bei der Abschätzung [mm] 0\le\bruch{2+q^n}{2^n+n^2}\le3/2^n? [/mm]

Wie verbaue ich jetzt den Wert der geometrischen Reihe 1/(1-q) im geg. Fall |q|<1 so in meine Grenzwertabschätzung, dass da auch was herauskommt?

Es soll herauskommen  [mm] \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{2+q^n}{2^n+n^2} \le [/mm] 3

        
Bezug
Grenzwert Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:40 So 16.03.2014
Autor: MathePower

Hallo geigenzaehler,

> Zeige Konvergenz und bestimme eine Abschätzung für den
> Grenzwert der Reihe
>  [mm]\summe_{i=1}^{\infty} \bruch{2+q^n}{2^n+n^2},[/mm]
>  |q|<1
>  In der Lösg. lese ich:
>  
> F. alle n aus IN ist
>  
> [mm]-1
>  => [mm]0\le\bruch{2+q^n}{2^n+n^2}\le3/2^n[/mm]

>  
> Hier soll wahrscheinlich die konvergente geometrische Reihe
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty}1/2^n[/mm] als Majorante herhalten.
>  
> Aber woher kommt die 3 im Zähler bei der Abschätzung
> [mm]0\le\bruch{2+q^n}{2^n+n^2}\le3/2^n?[/mm]
>  


[mm]q^{n}[/mm] wurde durch 1 abgeschätzt.


> Wie verbaue ich jetzt den Wert der geometrischen Reihe
> 1/(1-q) im geg. Fall |q|<1 so in meine
> Grenzwertabschätzung, dass da auch was herauskommt?
>  

[mm]\summe_{n=1}^{\infty}3*{\bruch{1}{2}}^{n}=\left(\ \summe_{n=0}^{\infty}3*\left(\bruch{1}{2}\right)^{n} \ \right)-3[/mm]


> Es soll herauskommen  [mm]\summe_{i=1}^{\infty} \bruch{2+q^n}{2^n+n^2} \le[/mm]
> 3


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
Grenzwert Reihe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:23 So 16.03.2014
Autor: DieAcht

Hallo MathePower,


> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}3*{\bruch{1}{2}}^{n}=\left(\ \summe_{n=0}^{\infty}3*{\bruch{1}{2}}^{n} \ \right)-1[/mm]

Auch wenn die Klammern fehlen ist da noch ein Fehler drin.

Auf der linken Seite steht:

      [mm] \frac{3}{2}+\ldots [/mm]

Auf der rechten Seite steht:

      [mm] 3*(\frac{1}{2})^0+3*(\frac{1}{2})^1+\ldots-1=3+\frac{3}{2}+\ldots-1=2+\frac{3}{2}+\ldots [/mm]


Gruß
DieAcht

Bezug
        
Bezug
Grenzwert Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:12 So 16.03.2014
Autor: DieAcht

Hallo geigenzaehler,


Im Grunde hat MathePower alles gesagt, aber mit dem Ende bin
ich nicht einverstanden. Beachte auch bitte deinen Startindex!

Zu zeigen:

      [mm] $\summe_{n=1}^{\infty}a_n\le [/mm] 3$ mit [mm] a_n:=\frac{2+q^n}{2^n+n^2} [/mm] und $|q|<1$.

Zunächst gilt für alle [mm] n\in\IN_0 [/mm] und $|q|<1$:

      [mm] a_n\le\frac{3}{2^n}. [/mm]

Damit gilt für unsere Reihe:

      [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_n\le\summe_{n=1}^{\infty}\frac{3}{2^n}=3\summe_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^n=3\left(-1+\summe_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^n\right)=3\left(-1+\frac{1}{1-\frac{1}{2}}\right)=3. [/mm]


Gruß
DieAcht

Bezug
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