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| Aufgabe | Sei f(x) = [mm] \bruch{x³-4x²+7x-6}{x-2} [/mm] für x [mm] \not= [/mm] 2
Zeigen Sie, dass [mm] \limes_{x\rightarrow\ 2} [/mm] f(x) existiert |
Hi,
Ich habe zu der Aufgabe mal eine Frage.
Wir haben nicht wirklich in der Vorlesung darüber gesprochen wie man "formal" da an so eine Aufgabe rangeht.
Aus meiner Abi-Zeit weiss ich das wir Grenzwerte nur fuer x-> [mm] \infty [/mm] oder dergleichen betrachtet haben und dort halt einfach größere Werte eingesetzt haben.
Folgendermaßen bin ich hier nun rangegangen und wollte einfach mal wissen ob dies denn so "korrekt" sei :
als erstes hab ich L'Hospital angewendet und komme da auf
[mm] \bruch{3x²-8x+7}{1} [/mm] nun hab ich x = 2 eingesetzt ( geht ja gegen 2 ) und komme dann auf
[mm] \bruch{3*2²-8*2+7}{1} [/mm] = [mm] \bruch{3}{1} [/mm] = 3
also [mm] \limes_{x\rightarrow\ 2} [/mm] f(x) = 3
erscheint mir ein wenig zu kurz das ganze, wenn das ueberhaupt so richtig ist
Mfg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:14 So 07.12.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo glamcatol!
Wenn ihr mit de l'Hospital arbeiten dürft, ist dieser (kurze) Weg durchaus legitim.
Ist dieser Weg aber euch noch (offiziell) unbekannt, kannst Du auch zunächst eine entsprechende  Polynomdivision mit [mm] $\text{Zähler} [/mm] \ : \ [mm] \text{Nenner} [/mm] \ = \ ...$ durchführen.
Gruß
Loddar
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Hi,
Also stimmt der Grenzwert 3 ?
Nunja L'Hospital hatten wir noch nicht.
Wenn ich nun die Polynomdivision anwende kriege ich ja meine Asymptote raus sowie mein Restglied.
Die Asymptote wäre ja mein "grenzwert " oder? und dort in die Asymptote setze ich nun "2" ein?
Mfg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:22 So 07.12.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo glamcatol!
Ja, der Grenzwert 3 ist okay.
Jedoch muss die Polynomdivision restlos aufgehen. Da musst Du Dich wohl verrechnet haben.
Gruß
Loddar
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[mm] (x^3 [/mm] - [mm] 4x^2 [/mm] + 7x - 6) : (x - 2) = [mm] x^2 [/mm] - 2x + 3
[mm] x^3 [/mm] - [mm] 2x^2 [/mm]
- [mm] 2x^2 [/mm] + 7x - 6
- [mm] 2x^2 [/mm] + 4x
3x - 6
3x - 6
0
oder nicht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:29 So 07.12.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo glamcatol!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Richtig. Und da bleibt ja kein Rest.
Nun die Grenzwertbetrachtung [mm] $x\rightarrow [/mm] 2$ ...
Gruß
Loddar
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Hi,
Nungut da setze ich halt x= 2 ein da ich ja genau diese Stelle betrachten will und gut ist oder? ( habe mich verrechnet bei der ersten Polynomodivison )
mfg
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Hallo glamcatol,
> Hi,
>
> Nungut da setze ich halt x= 2 ein da ich ja genau diese
> Stelle betrachten will und gut ist oder?
ja, aber erst nachdem du das $x-2$ im Zähler gegen das $x-2$ im Nenner gekürzt hast 
> ( habe mich verrechnet bei der ersten Polynomodivison )
>
> mfg
LG
schachuzipus
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[mm] \bruch{x²-2x+3}{x-2}
[/mm]
So stände das nun da nach der Polynomdivison ?
Ich dachte ich habe den Bruch schon "eliminiert" indem ich die Polynomdivison angewendet habe und eine ganzratione Funktion raus habe ?
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Hallo nochmal,
du hast doch den Zähler so zerlegt: [mm] $x^3-4x^2+7x-6=(x^2-2x+3)\cdot{}(x-2)$
[/mm]
Damit ist [mm] $\lim\limits_{x\to 2}\frac{x^3-4x^2+7x-6}{x-2}=\lim\limits_{x\to 2}\frac{(x^2-2x+3)\cdot{}(x-2)}{x-2}=\lim\limits_{x\to 2}(x^2-2x+3)=....$
[/mm]
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:44 So 07.12.2008 | | Autor: | glamcatol |
Achsoooo
So hab ich das noch nie betrachetet :D
also das ich letzendlich den Zaehler so wieder hinschreiben kann.
Nungut habe verstande.
Vielen Dank euch beiden !
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Der formal richtige Weg wäre zu zeigen, dass der linksseitige und rechtsseitige Grenzwert existiert, also 2+h und 2-h mit h gegen 0
> Sei f(x) = [mm]\bruch{x³-4x²+7x-6}{x-2}[/mm] für x [mm]\not=[/mm] 2
$ [mm] \limes_{h\rightarrow0} \bruch{(2+h)³-4(2+h)²+7(2+h)-6}{2+h-2}=\limes_{h\rightarrow0} \bruch{8+3*4*h+3*2*h^2+h^3-4(4+4h+h^2)+14+7h-6}{h}=\limes_{h\rightarrow0} \bruch{8+3*4*h+3*2*h^2+h^3-16-16h-4h^2+14+7h-6}{h}=\limes_{h\rightarrow0} \bruch{h^3+2h^2+3h-14}{h} [/mm] $
$ [mm] \limes_{h\rightarrow0} \bruch{(2-h)³-4(2-h)²+7(2-h)-6}{2-h-2}=\limes_{h\rightarrow0} \bruch{8-3*4*h+3*2*h^2-h^3-4(4-4h+h^2)+14-7*h-6}{-h}=\limes_{h\rightarrow0} \bruch{8-3*4*h+3*2*h^2-h^3-16+16h-4h^2+14-7h-6}{-h}=\limes_{h\rightarrow0} \bruch{-h^3+2h^2-3h-14}{-h} [/mm] $
Jetzt Übergang mit h gegen 0 und es bleibt als einzige feste Konstante bei beiden Varianten +3
Damit hast du einen schönen Beweis :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:13 So 07.12.2008 | | Autor: | glamcatol |
ah super, danke Dir !
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