Grenzwert bei Funkt. gegen x0 < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:33 Mi 05.09.2007 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | Bestimmen Sie
a) [mm] $\limes_{x \to 0}\bruch{x}{5+x}$ [/mm] b) [mm] $\limes_{x \to 0}\bruch{x+7}{x}$ [/mm] |
Hallo Zusammen,
hier meine Lösung zu den obengenannten Aufgaben:
h = jede beliebige Nullfolge
a)
Für x = 0+h
$f(0+h) = [mm] \bruch{0+h}{5+(0+h)}$
[/mm]
$f(0+h) = [mm] \bruch{0+h}{5+h}$
[/mm]
und hierbei komm ich nicht weiter, wie soll ich den Bruch nun auflösen? um zu sehen gegen welchen Grenzwert die Funktion bei x -> 0 strebt. Das gleiche muss man natürlich auch für x = 0-h machen. Wenn der rechtsseitige und linksseitige Grenzwert übereinstimmen kann man schreiben [mm] $\limes_{x \to x_0}=g.$
[/mm]
b)
Für x = 0+h
$f(0+h) = [mm] \bruch{(0+h)+7}{0+h}$
[/mm]
$f(0+h) = [mm] \bruch{7+h}{0+h}$
[/mm]
hierbei weiß ich auch nicht, wie ich den Bruch auflösen soll? Ich habe nur Probleme wenn x0 = 0 ist.
Eine andere Aufgabe:
[mm] $\limes_{x \to 4}\bruch{4x²-64}{2x-8}$
[/mm]
Für x = 4+h
$f(4+h) = [mm] \bruch{4(4+h)²-64}{2(4+h)-8}$
[/mm]
$f(4+h) = [mm] \bruch{64+32h+4h²}{8+2h-8}$
[/mm]
$f(4+h) = [mm] \bruch{32h+4h²}{2h}$
[/mm]
$f(4+h) = 16 + 2h$
[mm] $\limes_{x \to 4}=\limes_{h \to \Nullfolge}(16+2h) [/mm] = 16$ und für x = 4-h kommt auch 16 raus. Aber bei x0 = 0 hab ich Probleme damit. Vielen Dank im Voraus.
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:34 Mi 05.09.2007 | | Autor: | itse |
Ergänzung: Bei den zwei Aufgaben ganz oben ist x0 = 0.
|
|
|
| |
|
> Bestimmen Sie
>
> a) [mm]\limes_{x \to 0}\bruch{x}{5+x}[/mm] b) [mm]\limes_{x \to 0}\bruch{x+7}{x}[/mm]
>
>
> a)
Hallo,
Du willst [mm] \limes_{x \to 0}\bruch{x}{5+x} [/mm] also mit dem rechts- und linksseitigen Grenzwert bestimmen. (Eigentlich würde hier einfaches Einsetzen reichen, denn die 0 ist hier ja ganz unproblematisch: [mm] \limes_{x \to 0}\bruch{x}{5+x}=\bruch{0}{5+0}=0)
[/mm]
> Für x = 0+h
>
> [mm]f(0+h) = \bruch{0+h}{5+(0+h)}[/mm]
>
> [mm]f(0+h) = \bruch{0+h}{5+h}[/mm]
>
> und hierbei komm ich nicht weiter, wie soll ich den Bruch
> nun auflösen? um zu sehen gegen welchen Grenzwert die
> Funktion bei x -> 0 strebt.
Du willst ja den Grenzwert gegen 0 von rechts betrachten, also
[mm] \limes_{h \to 0} \bruch{0+h}{5+(0+h)}= \limes_{h \to 0} \bruch{h}{5+h}= \bruch{0}{5+0}=0.
[/mm]
Das ist ganz unproblematisch. Für x=0-h dann entsprechend.
(Ein bißchen werde ich allerdings den Verdacht nicht los, daß Du etwas anderes berechnen solltest: [mm] \limes_{x \to -5}\bruch{x}{5+x})
[/mm]
Mach mal eine Zeichnung der Funktion und schau Dir die Sache an. Bei den noch folgenden Funktionen auch. Du weißt dann besser, was Du tust.
Das gleiche muss man natürlich
> auch für x = 0-h machen. Wenn der rechtsseitige und
> linksseitige Grenzwert übereinstimmen kann man schreiben
> [mm]\limes_{x \to x_0}=g.[/mm]
>
> b)
>
> Für x = 0+h
>
> [mm]f(0+h) = \bruch{(0+h)+7}{0+h}[/mm]
>
> [mm]f(0+h) = \bruch{7+h}{0+h}[/mm]
>
> hierbei weiß ich auch nicht, wie ich den Bruch auflösen
> soll? Ich habe nur Probleme wenn x0 = 0 ist.
Du willst berechnen [mm] \limes_{h \to 0} \bruch{7+h}{0+h}= \limes_{h \to 0} \bruch{7+h}{h}= \limes_{h \to 0}( \bruch{7}{h}+\bruch{h}{h})= \limes_{h \to 0} \bruch{7}{h}+1)=\limes_{h \to 0}1+ \limes_{h \to 0} \bruch{7}{h}=1+\limes_{h \to 0} \bruch{7}{h}
[/mm]
Was passiert nun mit [mm] \bruch{7}{h}, [/mm] wenn h immer dichter an 0 heranrückt? Der Bruch [mm] \bruch{7}{h} [/mm] geht gegen unendlich.
Also hast Du ... [mm] =1+\infty=\infty. [/mm] (Vorsicht: irgendwann kommt der Tag, an dem Du [mm] \infty [/mm] - [mm] \infty [/mm] irgendwo stehen haben wirst. Das ist nicht in jedem Falle =0. Man kennt das Ergebnis ohen weitere Untersuchungen nicht. Das nur am Rande).
>
> Eine andere Aufgabe:
>
> [mm]\limes_{x \to 4}\bruch{4x²-64}{2x-8}[/mm]
>
> Für x = 4+h
>
> [mm]f(4+h) = \bruch{4(4+h)²-64}{2(4+h)-8}[/mm]
>
> [mm]f(4+h) = \bruch{64+32h+4h²}{8+2h-8}[/mm]
>
> [mm]f(4+h) = \bruch{32h+4h²}{2h}[/mm]
>
> [mm]f(4+h) = 16 + 2h[/mm]
>
> [mm]\limes_{x \to 4}=\limes_{h \to \Nullfolge}(16+2h) = 16[/mm] und
> für x = 4-h kommt auch 16 raus. Aber bei x0 = 0 hab ich
Warum? da gibt's eigentlich viel weniger Probleme. Die Funktion ist an der Stelle [mm] x_0=0 [/mm] doch "ganz normal" definiert, da kannst Du einfach [mm] einsetzen:\bruch{4*0²-64}{2*0-8}= [/mm] 8.
Aber Du möchtest es gern mit Grenzwert von rechts und von links machen, nicht wahr? Gucken wir mal:
[mm] \limes_{h \to 0}\bruch{4(0+h)²-64}{2(0+h)-8}=\limes_{h \to 0}\bruch{4h^2-64}{2h-8}=\limes_{h \to 0}\bruch{4(h^2-16)}{2(h-4)}=\limes_{h \to 0}\bruch{2(h^2-16)}{(h-4)}=\limes_{h \to 0}\bruch{2(h-4)(h+4)}{(h-4)}=\limes_{h \to 0}\bruch{2(h+4)}{1}=2(0+4)=8. [/mm]
Das ist ein "Trick", den Du bei Deinen eigenen Untersuchungen an der Funktion auch schon hättest anwenden können.
Es ist [mm] f(x)=\bruch{4x²-64}{2x-8}=2(x+4) [/mm] an allen Stellen mit Ausnahme der Stelle x=-4. (denn [mm] \bruch{4x²-64}{2x-8} [/mm] ist für x=-4 nicht definiert, wohl aber 2(x+4) )
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:59 Mi 05.09.2007 | | Autor: | itse |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo,
>(Ein bißchen werde ich allerdings den Verdacht nicht los, >daß Du etwas anderes berechnen solltest: $ \limes_{x \to >0}\bruch{x}{5+x}) $
Ich glaube auch. Bis jetzt lief x immer gegen undendlich, bei dieser Funktion läuft x gegen 0 und ist an dieser Stelle nicht definiert. Darum soll ich nun herausfinden ob es einen Grenzwert dort gibt. Und dies ist in meinem Buch mit dem rechtsseitigen und linksseitigen Grenzwert erklärt. Ich kann ja nicht für x einfach 0 einsetzen, wenn es nicht definiert ist? Wenn es definiert ist, kann ich natürlich einfach 0 einsetzen? Mir geht es im Endeffekt nur um die Umformung
von diesem hier $f(0+h) = \bruch{0+h}{5+h)$, wie bekomme ich den Bruch weg, das ist mir nicht ganz klar. es müsste 0 für den Grenzwert rauskommen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:04 Mi 05.09.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo itse!
> von diesem hier [mm]f(0+h) = \bruch{0+h}{5+h)[/mm], wie bekomme ich
> den Bruch weg, das ist mir nicht ganz klar. es müsste 0 für
> den Grenzwert rauskommen.
In diesem Falle ist es doch völlig unproblematisch, für $h_$ den Wert $0_$ einzusetzen, da hier kein unbestimmter Ausdruck entsteht:
[mm] $$\limes_{h\rightarrow 0}f(0+h) [/mm] \ = \ ... \ = \ [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{0+h}{5+h} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{0+\red{0}}{5+\red{0}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{0}{5} [/mm] \ = \ 0$$
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
> >(Ein bißchen werde ich allerdings den Verdacht nicht los,
> >daß Du etwas anderes berechnen solltest: [mm]\limes_{x \to >0}\bruch{x}{5+x})[/mm]
Hallo,
da oben wollte ich eigentlich etwas anderes geschrieben haben: daß ich mir vorstellen könnte, daß Du eigentlich [mm] \limes_{x \to -5}\bruch{x}{5+x} [/mm] berechnen sollst.
Hier sieht die Situation nämlich so aus, daß Du für x nicht einfach -5 einsetzen kannst, weil Du dann den Nenner =0 hast, was nicht erlaubt ist.
Hier untersuchst Du dann den Grewnzwert von rechts und von links.
Damit's nicht langweilig wird, nehmen wir jetzt mal den von links, betrachten also den Grenzwert der Funktion an der Stelle x=-5-h.
[mm] \limes_{h \to 0}\bruch{-5-h}{5+(-5-h)}= \limes_{h \to 0}\bruch{-5-h}{-h}= \limes_{h \to 0}(\bruch{5}{h}+1)
[/mm]
Wenn h gegen 0 geht, wird [mm] \bruch{5}{h} [/mm] sehr groß, also hast Du
[mm] ...=\infty+1=infty.
[/mm]
Gruß v. Angela
P.S.: Unterscheide generell genau, ob Du den Grenzwert einer Funktion an der Stelle [mm] x_0=0 [/mm] untersuchen sollst, oder ob Du den Grenzwert an den Nullstellen des Nenners untersuchen sollst.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:07 Mi 05.09.2007 | | Autor: | itse |
Okay, danke für die Antworten, nun weiß ich was ich unterscheiden muss und kann je nachdem das richtige anwenden.
|
|
|
|
