Grenzwert bei Funktionen < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | (Grenzwert von x---> [mm] x_{0})
[/mm]
Zeigen Sie
[mm] \limes_{x\rightarrow 1,5} \bruch{4x²-9}{2x-3}=6
[/mm]
und bestimmen Sie jeweils ein [mm] \delta, [/mm] wenn [mm] \varepsilon=0,01 [/mm] ist.
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Hallo!
es wäre schön, wenn ihr mir kurz helfen könnt
...und wieder ist mir der Schluß unklar.
Ich habe so gerechnet:
[mm] \bruch{4x²-9-6(2x-3)}{2x-3} \le [/mm] 0,01
....
[mm] \bruch{4x²-12x+9}{2x-3} \le [/mm] 0,01
die Parabel 4x²-12x+9=0 hab ich dann quadratisch ergänzt....
und beim Nenner die 2 ausgeklammert:
Sieht dann so aus:
[mm] \bruch{4(x-1,5)²}{2(x-1,5)}\le [/mm] 0,01
nach Kürzung:
[mm] 2(x-1,5)\le [/mm] 0,01 / :2
= 0,005
Das ist auch das richtige Egebnis. Meine Frage ist nun: Was passiert mit dem Term? (x-1,5). Kann ich den nicht weiter auflösen und er bleibt stehen, oder?
Lieben Dank,
hatschepsut
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:09 Mi 01.03.2006 | | Autor: | dormant |
Hi!
Ich glaube du musst den Grenzwert des Bruchs bestimmen, wenn x gegen 1.5 läuft, oder?
Ich habe mir deine Überlegungen nicht wirklich angeschaut, aber ich glaube, dass die ganze Sache viel einfacher wird, wenn du die binomische Formel
[mm]a^{2} - b^{2}=(a-b)(a+b)[/mm]
auf den Zähler anwendest.
Gruß,
dormant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:46 Do 02.03.2006 | | Autor: | Tequila |
Hi
Ich bin mir nicht sicher, deswegen schreib ichs nicht als Antwort.
Wenn du auflöst hast du ja irgendwann stehen
... |2| * |(x-1,5)| < [mm] \varepsilon [/mm] , stimmts?
der Ausdruck wird also nur um das * 2 erschwert
beim Epsilon-Delta-Formalismus muss man diesen Term abschätzen.
Er ist aber = 2 in dem Fall. Also konstant und du musst kein weiteres x abschätzen/bestimmen.
[mm] \gdw [/mm] |x-1,5| < [mm] \bruch{\varepsilon}{2}
[/mm]
und deswegen wähle [mm] \delta [/mm] = [mm] \bruch{\varepsilon}{2}
[/mm]
Ich bin mir aber nicht ganz sicher ob das so richtig ist, deswegen würde ich mich freuen, wenn es jemand anderes widerlegen oder bestätigen kann.
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Danke für Eure Antwort!
Hallo Tequila,
also, kann ich mir das so merken, dass ich einfach eine konstante Zahl, sofern sie vorhanden ist, hernehme, diese dann durch [mm] \varepsilon [/mm] teile und den Rest-Term unbeachtet lasse....
Hallo dormant,
hmm, binomische Formel? Wie genau ich dadurch das mit dem Schluß (Term: (x-1,5) bleibt übrig) hinbekommen soll.... versteh ich nicht?
Grüßle,
hatschepsut
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Hallo hatschepsut!
Wenn Du im Zähler die 3. binomische Formel anwendest und anschließend kürzt, verbleibt als Term $2x+3_$ .
Ausklammern von $2_$ liefert dann den Term [mm] $2*\red{(x-1.5)}$ [/mm] .
Gruß vom
Roadrunner
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Hi, Hatschepsut (große Pharaonin!),
> (Grenzwert von x---> [mm]x_{0})[/mm]
>
> Zeigen Sie
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\1,5} \bruch{4x²-9}{2x-3}=6[/mm]
>
> und bestimmen Sie jeweils ein [mm]\delta,[/mm] wenn
> [mm]\varepsilon=0,01[/mm] ist.
>
> Ich habe so gerechnet:
>
> [mm]\bruch{4x²-9-6(2x-3)}{2x-3} \le[/mm] 0,01
Da sollten aber bereits im Ansatz Betragstriche stehen!
Also: |f(x) - 6| < 0,01
Die Betragstriche werden dann bis zum Schluss beibehalten!
> [mm]2(x-1,5)\le[/mm] 0,01 / :2
>
> = 0,005
Also: |x - 1,5| < 0,005
Und den Rest hat Dir ja Tequila erläutert!
[mm] \delta [/mm] = 0,005 (in diesem Fall!)
Ausführlich: Für |x - 1,5| < 0,005 gilt |f(x) - 6| < 0,01.
Anschaulich: Wenn Du um den Punkt P(1,5; 6) ein Rechteck mit der Breite [mm] 2*\delta [/mm] und der Höhe [mm] 2*\epsilon [/mm] zeichnest (ist leider ein bissl klein, um's für die obigen Zahlen wirklich zu tun, aber mach's mal für [mm] \epsilon [/mm] = 1 und [mm] \delta [/mm] = 0,5), liegt der Graph von f innerhalb, denn f hat für x=1,5 eine stetig behebbare Definitionslücke (y-Koordinate 6).
mfG!
Zwerglein
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