Grenzwert berechnen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:47 So 09.07.2006 | | Autor: | didi_160 |
| Aufgabe | Sei f: R_+\ to R eine beschränkte differenzierbare Funktion, und
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] f'(x) existiere. Berechnen Sie [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] f'(x). |
Hi,
ich kann doch [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] f'(x) nur berechnen wenn ich f(x) kenne.
Aus welcher Information bekomme ich denn f(x)? Oder liege ich völlig daneben?
Bin über jeden Tipp sehr froh.
Gruß
didi_160
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Versuche, dir die Situation klarzumachen. Wenn du erst einmal eine anschauliche Vorstellung hast, kannst du immer noch nach einem formalen Beweis suchen.
1. Daß die Funktion beschränkt ist, heißt doch, daß es einen Horizontalstreifen gibt, den ihr Graph nie verläßt.
2. Nun soll [mm]\lim_{x \to \infty} f'(x) = m[/mm] existieren. Als Beispiel nehmen wir [mm]m = 0{,}8[/mm]. Wenn wir also ganz weit rechts sind, dann steigt der Graph quasi mit der Steigung [mm]0{,}8[/mm] an. Dann muß er aber den Horizontalstreifen nach oben verlassen, wodurch wir einen Widerspruch zu 1. bekommen. Und wenn man sich [mm]m = -2{,}3[/mm] vorstellt, würde der Graph ganz weit rechts quasi mit der Steigung [mm]-2{,}3[/mm] fallen und damit den Horizontalstreifen nach unten verlassen. Erneut ein Widerspruch.
Und wie kommt man aus diesen Widersprüchen heraus?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:30 Mo 10.07.2006 | | Autor: | didi_160 |
Besten Dank für deinen Tipp.
Einige Fragen zu deiner Antwort:
1. In der Frage heißte es : [mm] \IR [/mm] + [mm] \to \IR. [/mm] Das kann ich gar nicht interpretieren.
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2. Wieso deutest du
> [mm] \lim_{x \to \infty} [/mm] f'(x) = m
> Beispiel nehmen wir m = 0{,}8. Wenn wir also ganz weit
> rechts sind,
mit : "Sehr große Werte für x annehmen"??? was natürlich gleichbedeutend ist mit :
>"ganz weit nach rechts gehen"???
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>dann steigt der Graph quasi mit der Steigung
> 0{,}8 an. Dann muß er aber den Horizontalstreifen nach oben
> verlassen, wodurch wir einen Widerspruch zu 1. bekommen.
> Und wenn man sich m = -2{,}3 vorstellt, würde der Graph
> ganz weit rechts quasi mit der Steigung -2{,}3 fallen und
> damit den Horizontalstreifen nach unten verlassen. Erneut
> ein Widerspruch.
Dieser Interpretation kann ich folgen.
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3.
> Und wie kommt man aus diesen Widersprüchen heraus?
Dazu habe ich gar keine Idee
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4.
Wie ich das ganze beweisen kann weiß ich auch nicht.
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Besten Dank für deine Hilfe im Voraus und deine Geduld mit mir.
Gruß didi_160
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1)
Das bedeutet einfach, was in die Funktion hineingesteckt wird, und was herauskommt. In diesem Fall werden nur positive, reelle x hineingesteckt, und die Funktion kann beliebige reelle Zahlen ausspucken.
Anschaulich: im Graphen interessiert dich nur der Bereich rechts von der y-Achse.
2)
Nun, wenn eine Funktion einen Grenzwert besitzt bedeutet das, daß sie sich z.B. für x -> oo immer weiter dem Grenzwert nähert. Das geht aber nur, wenn sie immer flacher, im Unendlichen quasi konstant wird.
Deine Ableitung wird also irgendwann ganz weit rechts im Graphen ziemlich konstant sein. DAs wiederum bedeutet, daß f(x) selbst dann eine ziemlich konstante Steigung hat
3)
Ja, was haben wir denn gesagt? ein positiver Grenzwert von f' heißt, daß f immer weiter ansteigt, ein negativer Grenzwert von f' heißt, daß f immer weiter abfällt. In beiden Fällen würde f irgendwann seine Schranken verlassen, und das darf nicht geschehen.
Welche andere Möglichkeit gibt es denn noch?
4) und der Beweis ist quasi genau das, nur eben etwas mathematischer ausgedrückt.
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