Grenzwert berechnen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:37 Mi 19.01.2005 | | Autor: | Moe007 |
Hallo,
ich muss einen Grenzwert berechnen: [mm] \limes_{x\rightarrow\1} \bruch{arcosh x}{ \wurzel{x-1}} [/mm] wobei man sich von rechts an die 1 annähert.
Es geht hier also um die rechtsseitige Stetigkeit.
Ich habe den arcosh x anders ausgedrückt, also
[mm] \limes_{x\rightarrow\1} \bruch{log(x+ \wurzel{ x^{2}-1})}{ \wurzel{x-1}}
[/mm]
Jetzt weiß ich nicht genau, wleche Methode ich anwenden soll.
Die erste, die ich mir überlegt habe, ist, dass ich Zähler und Nenner zur Basis e hebe. Darf man das? Dann würde ich nämlich erhalten:
[mm] \limes_{x\rightarrow\1} \bruch{1}{1} [/mm] = 1 . Stimmt das? Kann man so vorgehen?
Die zweite Methode ist, dass ich mit der Größenordnung o(x) arbeite. Dann erhalte ich:
[mm] \limes_{x\rightarrow\1} \bruch{ \wurzel{x-1} log(x+ \wurzel{ x^{2}-1})}{x-1}
[/mm]
Dann kann ich doch schreiben:
[mm] \wurzel{x-1} [/mm] log(x+ [mm] \wurzel{ x^{2}-1}) \to [/mm] o(x-1) für x [mm] \to [/mm] 1 (von rechts annähern).
Wie geht es hier dann weiter? Wie kann man daraus den Grenzwert berechnen, oder ist mein Ansatz total falsch?
Danke für alles.
Moe007
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:56 Mi 19.01.2005 | | Autor: | moudi |
Hallo Moe007
Eine gut Idee ist immer Bernoulli-de l`Hoptial anzuwenden.
Habe es aber nicht geprüft.
mfG Moudi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:56 Do 20.01.2005 | | Autor: | Moe007 |
Hallo,
mit l'Hopital der besagt, dass lim [mm] \bruch{f(x)}{g(x)}=lim \bruch{f'(x)}{g'(x)}, [/mm] erhalte ich folgendes:
Nach vielen Umformungsschritten bekomme ich:
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 1} \bruch{2 \wurzel{x-1}}{x+ \wurzel{ x^{2}-1}}+ \bruch{2}{ \wurzel{x+1}(x+ \wurzel{ x^{2}-1})}.
[/mm]
Jetzt hbe ich einfach den gegebenen Grenzwert 1 eingesetzt und erhalte als Lösung 0+ [mm] \bruch{2}{ \wurzel{2}}= \bruch{1}{2} \wurzel{2}. [/mm] Stimmt das oder muss man weiterableiten? Ich versteh bei der Hopitalregel nicht, wann ich aufhören soll.
Noch eine Frage, der Grenzwert ändert sich doch auch nicht, wenn ich mich von links an den Grenzwert 1 angenähert hätte oder?
DAnke.
moe007
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:25 Do 20.01.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
Den L'Hopital wendet man immer so lange an, bis nicht mehr im Zähler und Nenner Null steht.
Du hast also alles richtig gemacht. Nur dene Wortwahl ist falsch. du hast nicht den Grenzwert eingesetzt sonder x gegen 1 laufen lassen, dabei traten keine Nullen in Zähler und Nenner auf,deshalb kannst du auch einfach x=1 einsetzen. OK? (Deine Umformung hab ich nicht überprüft)
Gruss leduart
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