Grenzwert berechnen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Berechne [mm] \lim_{x\to 0} \bruch{\ln(1+x) - x}{x} [/mm] |
Huhu Ihr,
ich knobel seit geraumer Zeit an obigem Grenzwert und komme nicht weiter.
Hintergrund ist, dass ich einer Bekannten bei Ihren Aufgaben helfen wollte und dabei viele Möglichkeiten noch nicht nutzen kann/darf, weil sie noch nicht behandelt wurden.
Meine ersten Ideen hier waren die Reihenentwicklung des Logarithmus zu nutzen (schöner Ansatz), oder halt einfach l'Hospital drauf anzuwenden.
Beides fällt jedoch flach, weil keins von beidem bekannt ist.
Das einzig verwendbare Mittel ist die Kenntnis, dass [mm] $\lim_{x\to\infty}\bruch{\ln(x)}{x} [/mm] = 0$
Meine Idee war nun erstmal x auszuklammern, dann hätte man schonmal:
[mm] \lim_{x\to 0} \bruch{\bruch{\ln(1+x)}{x} - 1}{1}
[/mm]
Allerdings bekomm ich es weder durch geschicktes Substituieren noch durch weiteres Umformen auf den bekannten Grenzwert.
Mit fällt übrigens auch gerade keine Möglichkeit ohne Reihenentwicklung oder l'Hospital ein, zu zeigen, dass [mm] $\lim_{x\to\infty}\bruch{\ln(x)}{x} [/mm] = 0$, ich frag auch nochmal nach, wie das gezeigt wurde, vielleicht ergibt sich daraus ja ein Hinweis.....
Oder jemand von Euch hat einen grandiosen Einfall.
Schonmal Danke im Voraus 
Und besinnliche Weihnachtszeit.
Gono.
PS: Gestellt hab ich die Frage natürlich nur hier 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:11 Do 23.12.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Gono!
[mm]\bruch{\ln(1+x)}{x} \ = \ \bruch{\ln(1+x)-0}{x} \ = \ \bruch{\ln(1+x)-\ln(1)}{x}[/mm]
Und durch die Grenzwertbetrachtung [mm]x\rightarrow 0[/mm] entspricht dies exakt dem Differentialquotienten von [mm]f(x) \ = \ \ln(x)[/mm] an der Stelle [mm]x_0 \ = \ 1[/mm] .
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:19 Do 23.12.2010 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hallo Loddar,
ein schöner Ansatz, muss ich wirklich sagen
Danke dafür und schöne Weihnachten.
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:22 Do 23.12.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Gono!
> ein schöner Ansatz, muss ich wirklich sagen
Den habe ich mir bei Fred97 abgeschaut.
> Danke dafür und schöne Weihnachten.
Danke, Dir auch.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:04 Do 23.12.2010 | | Autor: | Gonozal_IX |
Huhu Loddar,
wie nicht anders zu erwarten (*seufz*):
> sieht hübsch aus und was wenn ich dir sagen muss das der Differenzquotient und Ableitung erst das Thema anch den Ferien ist?:-(
jaja, viele Wege führen ja bekanntlich nach Rom, vielleicht finden wir ja noch einen
Liebe Grüße,
Gono.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:23 Do 23.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
das ganze e^, dann statt x gegen 0 1/x gegen unendlich und man braucht nur noch die Def von [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} (1+x)
^{\bruch{1}{x}}[/mm] und [mm] 1=e^0
[/mm]
ganz ohne Differentialrechng
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:02 Do 23.12.2010 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hallo Leduart,
ich glaube, ich gebs auf und warte auf die Musterlösung.
e als Grenzwert gibts erst im nächsten Kapitel, bisher wurde nur e als Reihe eingeführt.
Ich weiß jetzt übrigens auch, wie [mm] $\bruch{\ln(x)}{x} \to [/mm] 0$ bewiesen wurde und zwar
[mm] $\lim_{x\to\infty}\bruch{\ln(x)}{x} [/mm] = [mm] \lim_{y\to\infty}\bruch{y}{e^y} [/mm] = 0$, was man ja über die Reihendarstellung von e zeigen kann.
Aber wirklich weiter hilft mir das bis hierhin auch nicht.
Ich stell die Frage mal auf "Für Interessierte".
Danke für die Antworten bisher.
edit: Argh, ich kann das als Fragesteller gar nicht umstellen. Mag das einer von euch machen?
Grüße,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:24 Do 23.12.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Gono!
> Mit fällt übrigens auch gerade keine Möglichkeit ohne
> Reihenentwicklung oder l'Hospital ein, zu zeigen, dass
> [mm]\lim_{x\to\infty}\bruch{\ln(x)}{x} = 0[/mm],
Es gilt [mm]\ln(x) \ < \ \wurzel{x}[/mm] .
Fehlt mir nur der entsprechende Beweis für. ![[peinlich]](/images/smileys/peinlich.gif "[peinlich]")
Wobei: man kann mittels Differenzialrechnung zeigen, dass der minimale Abstand beider Funktionen mindestens [mm] $2-\ln(4) [/mm] \ [mm] \approx [/mm] \ 0{,}614$ beträgt.
Aber mit der Abschätzung ist der Grenzwert schnell gezeigt.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:59 So 26.12.2010 | | Autor: | Marcel |
> Hallo Gono!
>
>
> > Mit fällt übrigens auch gerade keine Möglichkeit ohne
> > Reihenentwicklung oder l'Hospital ein, zu zeigen, dass
> > [mm]\lim_{x\to\infty}\bruch{\ln(x)}{x} = 0[/mm],
>
> Es gilt [mm]\ln(x) \ < \ \wurzel{x}[/mm] .
> Fehlt mir nur der entsprechende Beweis für.
>
> Wobei: man kann mittels Differenzialrechnung zeigen, dass
> der minimale Abstand beider Funktionen mindestens [mm]2-\ln(4) \ \approx \ 0{,}614[/mm]
> beträgt.
>
>
> Aber mit der Abschätzung ist der Grenzwert schnell
> gezeigt.
darf Gonos Freundin dann aber hier auch die (eigentlich meist etwas schwächere, aber für "genügend kleine" [mm] $x\,$ [/mm] sogar etwas stärkere) Abschätzung aus ![[]](/images/popup.gif) Satz 5.16 (2er Teil)
[mm] $$\ln(x) \le 2(\sqrt{x}-1)$$
[/mm]
verwenden?
P.S.:
Das [mm] $\ln(x) \le \sqrt{x}$ [/mm] ist, kann man sich auch so überlegen:
$$f:x [mm] \mapsto \sqrt{x}-\ln(x)$$
[/mm]
hat als Ableitung [mm] $\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{1}{x}=\frac{\sqrt{x}-2}{2x}\,,$ [/mm] die Funktion fällt also auf [mm] $(0,4]\,$ [/mm] und steigt danach wieder. Insbesondere liegt an [mm] $x=4\,$ [/mm] ein lokales, sogar globales, Minimum vor. Wegen [mm] $f(4)=\sqrt{4}-\ln(2)=2-\ln(2) [/mm] > 0$ gilt daher $f(x) > [mm] 0\,$ [/mm] für alle $x > [mm] 0\,.$
[/mm]
Aber vermutlich war das genau das, was DU oben auch meintest mit "minimaler Abstand der beiden Funktionen...".
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:14 So 26.12.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo Gonozal,
> Guten Morgen Marcel,
>
> > darf Gonos Freundin dann aber hier auch die (eigentlich
> > meist etwas schwächere, aber für "genügend kleine" [mm]x\,[/mm]
> > sogar etwas stärkere) Abschätzung aus
> >
> Satz 5.16
> > (2er Teil)
> > [mm]\ln(x) \le 2(\sqrt{x}-1)[/mm]
> > verwenden?
>
> Die Frage ist, wie du das zeigen willst
> Ich hatte in einer anderen Mitteilung bereits gezeigt, wie
> man das auch nur mit der Reihenentwicklung der e-Funktion
> Beweisen kann
dann schau' Dir das Skript mal genau an: Bei diesem Aufbau braucht man die e-Funktion nicht. Die Logarithmusfunktion wird hier nämlich ein wenig trickreich eingeführt - anders als sonst. Dazu schau' einfach mal in Satz 5.14 und Definition 5.15. Natürlich bleibt dann die Frage, ob Deine Freundin das dann so verwenden darf. Aber schlimmstenfalls kann sie die dortigen Überlegungen verwenden, um das "Werkzeug", was man so in diesem Skript bzgl. der Logarithmusfunktion findet, dann verwenden zu können. Das ist alles sehr elementar. Allerdings bleibt halt einfach doch noch das unbefriedigende Gefühl, dass das alles viel zu aufwendig ist bzgl. der Aufgabenstellung - wenn man vorher noch irgendwie andere, nicht einfach einzusehende, Sätze heraussuchen und selbst beweisen muss.
> > P.S.:
> > Das [mm]\ln(x) \le \sqrt{x}[/mm] ist, kann man sich auch so
> > überlegen:
> > [mm]f:x \mapsto \sqrt{x}-\ln(x)[/mm]
> > hat als Ableitung
> > [mm]\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{1}{x}=\frac{\sqrt{x}-2}{2x}\,,[/mm]
>
> Und hier wäre das Problem: Ableitungen können noch nicht
> verwendet werden.
Generell ist wohl das Problem, dass nicht so klar ist, was verwendet werden darf. Evtl. kann man ja auch anders argumentieren - so wie man Stetigkeitsargumente manchmal ja auch benutzt, ohne es zu wissen. Z.B. wenn man "nur mit Folgenargumenten" nachweist, dass aus [mm] $a_n \to [/mm] a [mm] \ge [/mm] 0$ auch [mm] $\sqrt{a_n} \to \sqrt{a}$ [/mm] folgt. Wenn man weiß, dass $x [mm] \mapsto \sqrt{x}$ [/mm] stetig ist, ist das banal. Wenn nicht, dann zeigt man damit quasi die Stetigkeit der Wurzelfunktion an der Stelle $a [mm] \ge 0\,$, [/mm] weil Stetigkeit und Folgenstetigkeit bei Funktionen zwischen metrischen Räumen ja äquivalent sind.
Daher ist wirklich einfach die Frage: Auch, wenn etwas noch nicht benutzt werden darf: Kann man es vielleicht ein wenig "verschleiern", so dass der "Unwissende" noch gar nicht sieht, was das "eigentliche" Argument ist?
Feierliche Grüße zurück,
Marcel
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Hallo Gonozal,
über Weihnachten warten zu müssen ist ja ekelhaft. Warten ist das Thema des Advents, nicht das von Weihnachten.
Auch hier kann man mit der Reihenentwicklung von [mm] e^x [/mm] arbeiten - warum die allerdings schon dran war und der ganze Rest nicht, ist mir etwas rätselhaft.
> Berechne [mm]\lim_{x\to 0} \bruch{\ln(1+x) - x}{x}[/mm]
> [...]
>
> Das einzig verwendbare Mittel ist die Kenntnis, dass
> [mm]\lim_{x\to\infty}\bruch{\ln(x)}{x} = 0[/mm]
Brauchen wir nicht.
Ich setze [mm] z=\ln{(1+x)}. [/mm] Dann ist [mm] x=e^z-1, [/mm] und wir lassen z gegen Null laufen.
$ [mm] \lim_{x\to 0} \bruch{\ln{(1+x)}-x}{x}=\lim_{x\to 0}\left(\bruch{\ln{(1+x)}}{x}-1\right)=\lim_{z\to 0}\left(\bruch{z}{e^z-1}-1\right)=\cdots [/mm] $
Jetzt die bekannte Reihenentwicklung der Exponentialfunktion, die führende 1 wird hier ja eliminiert:
$ [mm] \cdots =\lim_{z\to 0}\left(\bruch{z}{\bruch{z}{1!}+\bruch{z^2}{2!}+\bruch{z^3}{3!}+\cdots}-1\right)=\lim_{z\to 0}\left(\bruch{1}{\bruch{1}{1!}+\bruch{z}{2!}+\bruch{z^2}{3!}+\cdots}-1\right)=0 [/mm] $
> Oder jemand von Euch hat einen grandiosen Einfall.
Hoffe ich. Sieht doch gut aus.
> Schonmal Danke im Voraus
> Und besinnliche Weihnachtszeit.
>
> Gono.
Gleichfalls!
reverend
> PS: Gestellt hab ich die Frage natürlich nur hier
Braaav. Keine Rute.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:22 Sa 25.12.2010 | | Autor: | reverend |
N'Abend Gono,
was ist jetzt: keine gute Idee?
Soweit ich sehe, erfüllt die Lösung doch alle Begrenzungen und Einschränkungen, die Deiner Freundin auferlegt sind.
Elegantere Lösungen stehen ja längst hier im Thread, aber irgendwas daran war ja immer nicht erlaubt.
Gib doch mal 'ne kurze Rückmeldung jedweder Art.
Liebe Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:02 So 26.12.2010 | | Autor: | Gonozal_IX |
Huhu,
ganz große Entschuldigung von mir!
Im Weihnachtsstreß hab ich eine Mitteilung hier vergessen.
Die Lösung ist spitze und erfüllt alle Kriterien.
Ich Danke vielmals für eure Kreativen Ideen und dass ihr euch von den vielen Einschränkungen nicht habt entmutigen lassen
Wiedermal ein schönes Beispiel, auf wievielen Wegen man so eine Aufgabe lösen kann.
Liebe Weihnachtsgrüße,
Gono.
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