Grenzwert berechnen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:25 Mo 23.05.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Sei D>0.Fixiere eine beliebige positive reelle Zahl [mm] x_{0} [/mm] und definiere
[mm] x_{n}=\bruch{1}{2}(x_{n-1}+\bruch{D}{x_{n-1}}).
[/mm]
Man zeige,dass [mm] x_{n} [/mm] gegen [mm] \wurzel{D} [/mm] konvergiert.
Was folgt daraus für die Vollständigkeit von [mm] \IQ? [/mm] |
Hallo,
ich hab versucht den Grenzwert der Folge zu berechnen, hab auch ne Wurzel da stehen,aber nicht [mm] \wurzel{D}. [/mm] Man muss natürlich zeigen, dass sie konvergiert, aber ich berechne jetzt zuerst den Grenzwert.
Wenn ich die Gleichung einfach umstelle ,habe ich
[mm] 2*x_{n}=\bruch{(x_{n-1})^{2}+D}{x_{n-1}}, [/mm] bzw.
[mm] 0=(x_{n-1})^{2}-2*x_{n-1}*x_{n}+D.
[/mm]
Das ist ein quadratische Gleichung, also hat sie folgende Lösungen:
[mm] x_{n-1}=x_{n} \pm \wurzel{x_{n}^{2}-D}.
[/mm]
Dann habe ich dieses [mm] x_{n-1} [/mm] in [mm] x_{n}=\bruch{1}{2}(x_{n-1}+\bruch{D}{x_{n-1}}) [/mm] eingesetzt und habe
[mm] x_{n}=0.5*(x_{n}+\wurzel{x_{n}^{2}-D}+\bruch{D}{x_{n}+\wurzel{x_{n}^{2}}-D}).
[/mm]
Das habe ich noch ein wenig umgeformt und habe
[mm] x_{n}=\wurzel{x_{n}^{2}-D}*x_{n}+x_{n}^{2}-D+\bruch{D}{x_{n}+\wurzel{x_{n}^{2}-D}}.
[/mm]
Muss ich diese Gleichung jetzt nach [mm] x_{n} [/mm] auflösen und dann den Grenzwert berechnen bzw. bin ich überhaupt auf dem richtigen Weg?
Vielen Dank
lg
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Hallo Mandy,
> Sei D>0.Fixiere eine beliebige positive reelle Zahl [mm]x_{0}[/mm]
> und definiere
> [mm]x_{n}=\bruch{1}{2}(x_{n-1}+\bruch{D}{x_{n-1}}).[/mm]
>
> Man zeige,dass [mm]x_{n}[/mm] gegen [mm]\wurzel{D}[/mm] konvergiert.
> Was folgt daraus für die Vollständigkeit von [mm]\IQ?[/mm]
>
> Hallo,
>
> ich hab versucht den Grenzwert der Folge zu berechnen, hab
> auch ne Wurzel da stehen,aber nicht [mm]\wurzel{D}.[/mm] Man muss
> natürlich zeigen, dass sie konvergiert, aber ich berechne
> jetzt zuerst den Grenzwert.
>
> Wenn ich die Gleichung einfach umstelle ,habe ich
>
> [mm]2*x_{n}=\bruch{(x_{n-1})^{2}+D}{x_{n-1}},[/mm] bzw.
>
> [mm]0=(x_{n-1})^{2}-2*x_{n-1}*x_{n}+D.[/mm]
>
> Das ist ein quadratische Gleichung, also hat sie folgende
> Lösungen:
>
> [mm]x_{n-1}=x_{n} \pm \wurzel{x_{n}^{2}-D}.[/mm]
>
> Dann habe ich dieses [mm]x_{n-1}[/mm] in
> [mm]x_{n}=\bruch{1}{2}(x_{n-1}+\bruch{D}{x_{n-1}})[/mm] eingesetzt
> und habe
>
> [mm]x_{n}=0.5*(x_{n}+\wurzel{x_{n}^{2}-D}+\bruch{D}{x_{n}+\wurzel{x_{n}^{2}}-D}).[/mm]
>
> Das habe ich noch ein wenig umgeformt und habe
>
> [mm]x_{n}=\wurzel{x_{n}^{2}-D}*x_{n}+x_{n}^{2}-D+\bruch{D}{x_{n}+\wurzel{x_{n}^{2}-D}}.[/mm]
>
> Muss ich diese Gleichung jetzt nach [mm]x_{n}[/mm] auflösen und
> dann den Grenzwert berechnen bzw. bin ich überhaupt auf
> dem richtigen Weg?
Naja, wie macht man das denn mit rekursiv definierten Folgen?
Man zeigt, dass die Folge monoton ist und beschränkt.
Damit folgt Konvergenz. Nennen wir den GW (wenn er denn existiert) mal [mm]x[/mm]
Es ist [mm]\lim\limits_{n\to\infty}x_n=\lim\limits_{n\to\infty}x_{n-1}=x[/mm]
Das eingesetzt in die Rekursionsvorschrift ergibt:
[mm]x=\frac{1}{2}\left(x+\frac{D}{x}\right)[/mm]
Und das kannst du doch wohl leicht nach [mm]x[/mm], also dem GW, umstellen.
Beachte aber, dass du erst so verfahren kannst, wenn du gezeigt hast, dass der GW existiert ... (du kannst dir aber vorher durch diese Überlegung schon mal angucken, wie er aussehen müsste)
> Vielen Dank
> lg
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:32 Di 24.05.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo,
> Naja, wie macht man das denn mit rekursiv definierten
> Folgen?
>
> Man zeigt, dass die Folge monoton ist und beschränkt.
Ja, das weiß ich.
>
> Damit folgt Konvergenz. Nennen wir den GW (wenn er denn
> existiert) mal [mm]x[/mm]
>
> Es ist
> [mm]\lim\limits_{n\to\infty}x_n=\lim\limits_{n\to\infty}x_{n-1}=x[/mm].
Ist es bei rekursiv definierten Folgen immer so, dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} x_{n}=\limes_{n\rightarrow\infty} x_{n-1} [/mm] ist?
>
> Das eingesetzt in die Rekursionsvorschrift ergibt:
>
> [mm]x=\frac{1}{2}\left(x+\frac{D}{x}\right)[/mm]
>
> Und das kannst du doch wohl leicht nach [mm]x[/mm], also dem GW,
> umstellen.
Ja, das umgestellt ergibt den Grenzwert [mm] x=\wurzel{D}
[/mm]
>
> Beachte aber, dass du erst so verfahren kannst, wenn du
> gezeigt hast, dass der GW existiert ... (du kannst dir aber
> vorher durch diese Überlegung schon mal angucken, wie er
> aussehen müsste)
Ok, dann hab ich mal an die Monotonie versucht:
Für D=1 ist [mm] x_{n}=x_{n-1}. [/mm] Für D>1 steigt die Folge streng monoton und für D<0 fällt sie streng monoton. Das heißt ich muss zwei Dinge beweisen:
1.Fall: D [mm] \ge [/mm] 0: Folge wächst monoton, d.h. [mm] \bruch{x_{n}}{x_{n-1}} \ge [/mm] 1
2.Fall: D<0: Folge fällt streng monoton, d.h. [mm] \bruch{x_{n-1}}{x_{n}} [/mm] > 1.
1.Fall:
Es ist [mm] x_{n}=\bruch{1}{2}(x_{n-1}+\bruch{D}{x_{n-1}}) [/mm] und [mm] x_{n-1}=x_{n} \pm \wurzel{x_{n}^{2}-D}. [/mm] Dieses [mm] x_{n} [/mm] hab ich dann in [mm] \bruch{x_{n}}{x_{n-1}} [/mm] eingesetzt und die Gleichung umgeformt, bin zum Schluss auf [mm] \bruch{x_{n}}{x_{n-1}}=\bruch{1}{2}+\bruch{1}{2}*\bruch{D}{(x_{n}+\wurzel{x_{n}^{2}-D})^{2}}.
[/mm]
Das wollte ich jetzt abschätzen. Der Nenner des Bruchs ist auf jeden Fall größer als Null und der Zähler auch. Jetzt muss ich noch zeigen, dass der ganze Bruch größer als 1 ist, da komme ich aber auf keine anständige Umformung. Wie mache ich denn nun weiter?
Vielen Dank
lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:39 Di 24.05.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
Ich seh grad, D<0 ist ausgeschlossen. Ok, dann gibt es nur den ersten Fall.
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:43 Di 24.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> > Naja, wie macht man das denn mit rekursiv definierten
> > Folgen?
> >
> > Man zeigt, dass die Folge monoton ist und beschränkt.
>
> Ja, das weiß ich.
> >
> > Damit folgt Konvergenz. Nennen wir den GW (wenn er denn
> > existiert) mal [mm]x[/mm]
> >
> > Es ist
> >
> [mm]\lim\limits_{n\to\infty}x_n=\lim\limits_{n\to\infty}x_{n-1}=x[/mm].
>
> Ist es bei rekursiv definierten Folgen immer so, dass
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} x_{n}=\limes_{n\rightarrow\infty} x_{n-1}[/mm]
> ist?
Das ist bei jeder konvergenten Folge so !!
> >
> > Das eingesetzt in die Rekursionsvorschrift ergibt:
> >
> > [mm]x=\frac{1}{2}\left(x+\frac{D}{x}\right)[/mm]
> >
> > Und das kannst du doch wohl leicht nach [mm]x[/mm], also dem GW,
> > umstellen.
>
> Ja, das umgestellt ergibt den Grenzwert [mm]x=\wurzel{D}[/mm]
> >
> > Beachte aber, dass du erst so verfahren kannst, wenn du
> > gezeigt hast, dass der GW existiert ... (du kannst dir aber
> > vorher durch diese Überlegung schon mal angucken, wie er
> > aussehen müsste)
>
> Ok, dann hab ich mal an die Monotonie versucht:
> Für D=1 ist [mm]x_{n}=x_{n-1}.[/mm]
Wie kommst Du darauf ? ???
> Für D>1 steigt die Folge
> streng monoton und für D<0 fällt sie streng monoton.
In der Aufgabe ist vorausgesetzt, dass D>0 ist !!
> Das
> heißt ich muss zwei Dinge beweisen:
>
> 1.Fall: D [mm]\ge[/mm] 0: Folge wächst monoton,
Das glaube ich nicht so ganz ! Unterscheide lieber die Fälle [mm] x_0 \le \wurzel{D} [/mm] und [mm] x_0 \ge \wurzel{D}
[/mm]
> d.h.
> [mm]\bruch{x_{n}}{x_{n-1}} \ge[/mm] 1
>
> 2.Fall: D<0:
Nochmal : Es ist D>0
FRED
> Folge fällt streng monoton, d.h.
> [mm]\bruch{x_{n-1}}{x_{n}}[/mm] > 1.
>
> 1.Fall:
>
> Es ist [mm]x_{n}=\bruch{1}{2}(x_{n-1}+\bruch{D}{x_{n-1}})[/mm] und
> [mm]x_{n-1}=x_{n} \pm \wurzel{x_{n}^{2}-D}.[/mm] Dieses [mm]x_{n}[/mm] hab
> ich dann in [mm]\bruch{x_{n}}{x_{n-1}}[/mm] eingesetzt und die
> Gleichung umgeformt, bin zum Schluss auf
> [mm]\bruch{x_{n}}{x_{n-1}}=\bruch{1}{2}+\bruch{1}{2}*\bruch{D}{(x_{n}+\wurzel{x_{n}^{2}-D})^{2}}.[/mm]
>
> Das wollte ich jetzt abschätzen. Der Nenner des Bruchs ist
> auf jeden Fall größer als Null und der Zähler auch.
> Jetzt muss ich noch zeigen, dass der ganze Bruch größer
> als 1 ist, da komme ich aber auf keine anständige
> Umformung. Wie mache ich denn nun weiter?
>
> Vielen Dank
> lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:34 Mi 25.05.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo Fred,
> > Ist es bei rekursiv definierten Folgen immer so, dass
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} x_{n}=\limes_{n\rightarrow\infty} x_{n-1}[/mm]
> > ist?
>
> Das ist bei jeder konvergenten Folge so !!
Achso....ok.
> Das glaube ich nicht so ganz ! Unterscheide lieber die
> Fälle [mm]x_0 \le \wurzel{D}[/mm] und [mm]x_0 \ge \wurzel{D}[/mm]
Ok. Ich habe die Folge [mm] x_{n}=\bruch{1}{2}(x_{n-1}+\bruch{D}{x_{n-1}}). [/mm] Jetzt muss ich irgendwie [mm] x_{0} [/mm] reinkriegen.Es ist [mm] x_{1}=\bruch{1}{2}(x_{0}+\bruch{D}{x_{0}}) [/mm] und [mm] x_{2}=\bruch{1}{2}(\bruch{1}{2}*(x_{0}+\bruch{D}{x_{0}})+\bruch{D}{\bruch{1}{2}*(x_{0}+\bruch{D}{x_{0}})}) [/mm] usw. Diese Darstellung bringt mich aber nicht weiter,denn wenn ich die beiden Fälle unterscheide,kann ich nichts
Ist mein Ansatz mit [mm] \bruch{x_{n}}{x_{n-1}} \ge [/mm] 1 und [mm] \bruch{x_{n}}{x_{n-1}}=\bruch{1}{2}+\bruch{1}{2}*\bruch{D}{x_{n}+\wurzel{x_{n}^{2}-D}} [/mm] hier überhupt nicht brauchbar? Oder kann man hier [mm] x_{n} [/mm] durch [mm] x_{0} [/mm] ausdrücken? [mm] x_{1},x_{2} [/mm] usw. kann ich durch [mm] x_{0} [/mm] ausdrücken,aber wie das für allgemeines [mm] x_{n} [/mm] aussieht, weiß ich nicht.
Vielen Dank
lg
Einen anderen Ansatz zum Zeigen der Monotonie habe ich leider nicht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:43 Mi 25.05.2011 | | Autor: | WWatson |
Hallo, Mandy,
versuch doch, erst einmal die Beschränktheit für beide Fälle zu zeigen. Das funktioniert z.B. mit vollständiger Induktion. Die kannst Du dann in Deinen Abschätzungen für die Monotonie jeweils verwenden. Als Ansatz dafür kannst Du dann sogar den von Dir genannten verwenden.
Gruß
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:28 Mi 25.05.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo WWatson,
> versuch doch, erst einmal die Beschränktheit für beide
> Fälle zu zeigen. Das funktioniert z.B. mit vollständiger
> Induktion. Die kannst Du dann in Deinen Abschätzungen für
> die Monotonie jeweils verwenden. Als Ansatz dafür kannst
> Du dann sogar den von Dir genannten verwenden.
Ok,dann versuch ich zuerst die Beschränktheit.
Nur weiß ich nicht so richtig was mit der Fallunterscheidung [mm] x_{0} \ge \wurzel{D} [/mm] und [mm] x_{0}<\wurzel{D} [/mm] anzufangen,bzw. an welcher Stelle ich die verwenden kann/sollte.
Sei [mm] x_{0}=a \in \IR^{+}
[/mm]
Induktionsanfang: n=1: [mm] x_{1}=0.5*(x_{0}+\bruch{D}{x_{0}})=0.5*(a+\bruch{D}{a}) [/mm] (Schranke).
Also angenommen die Behauptung gilt für n.
n [mm] \to [/mm] n+1.
Zu zeigen: [mm] x_{n+1}=0.5*(x_{n}+\bruch{D}{x_{n}})=0.5*(...).
[/mm]
Jetzt weiß ich nicht was in der Klammer stehen muss ? Ich muss ja allgmeine eine Schranke finden, entweder obere oder untere, sodass alle Folgenglieder von [mm] x_{n} [/mm] größer bzw. kleiner als diese Schranke sind,aber wie?
Vielen Dank
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 03:18 Do 26.05.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo Mandy
du experimentierst zu wenig!
nimm doch mal D=2 und fang eimal mit [mm] x_0=3 [/mm] an also [mm] >\sqrt{2} [/mm] und einmal mit [mm] x_0=1, [/mm] rechne die ersten paar Schritte, dann siehst du sicher schnell, was passiert und welche Schranke du nehmen kannst! Wenn du immer alles vorgemacht kriegst, lernst du nix.
Gruss leduart
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:30 Do 26.05.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo leduart,
> du experimentierst zu wenig!
> nimm doch mal D=2 und fang eimal mit [mm]x_0=3[/mm] an also
> [mm]>\sqrt{2}[/mm] und einmal mit [mm]x_0=1,[/mm] rechne die ersten paar
> Schritte, dann siehst du sicher schnell, was passiert und
> welche Schranke du nehmen kannst! Wenn du immer alles
> vorgemacht kriegst, lernst du nix.
Das habe ich jetzt gemacht und habe folgendes raus: Sowohl für [mm] x_{0} \ge [/mm] 0 als auch [mm] x_{0} [/mm] < 0 ist die Folge nach unten durch [mm] \wurzel{D} [/mm] beschränkt. Das will ich jetzt mit vollständiger Induktion beweisen.die Behauptung lautet also:
[mm] x_{n}=0.5*(x_{n-1}+\bruch{D}{x_{n-1}}) \ge \wurzel{D}.
[/mm]
[mm] Induktionsanfang:n=1:x_{1}=0.5*(x_{0}+\bruch{D}{x_{0}}) \ge \wurzel{D}. [/mm] Diese Ungleichung stimmt, denn ich erhalte am Ende eine wahre Aussage.
[mm] Induktionsschritt:zz:x_{n+1}=0.5*(x_{n}+\bruch{D}{x_{n}}) \ge \wurzel{D}. [/mm] Jetzt kann ich die Induktionsvoraussetzung nutzen und weiß schonmal,dass [mm] x_{n} \ge \wurzel{D} [/mm] ist. Dann hab ich zuerst den Fall [mm] x_{n}=\wurzel{D} [/mm] betrachtet und es kommt D [mm] \ge [/mm] D, also ein wahre Aussage raus. Nur bei [mm] x_{n} [/mm] > D komme ich nicht weiter, ich habe die Ungleichung umgestellt und erhalte: [mm] x_{n}+\bruch{D}{x_{n}}-2*\wurzel{D} [/mm] >0.
Stimmt das so? Und wie kann ich jetzt bei dem Induktionsschritt weitermachen?
Vielen Dank
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:58 Fr 27.05.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. was soll denn [mm] x_0<0? [/mm] dann ist sicher x1<0
2."$ [mm] Induktionsanfang:n=1:x_{1}=0.5\cdot{}(x_{0}+\bruch{D}{x_{0}}) \ge \wurzel{D}. [/mm] $ Diese Ungleichung stimmt, denn ich erhalte am Ende eine wahre Aussage.
wie hast du denn das gezeigt? dann koenntest du ja dasselbe Verfahren bei der Induktion verwenden.
3. [mm] x_n=\wurzel{D} [/mm] zu betrachten ist recht sinnlos!
4. was hast du bei deinem Experiment denn beobachtet?
Gruss leduart
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