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| Aufgabe | | Bestimmen Sie den grenzwert [mm] \limes_{n\rightarrow\ 0+} x^{2x} [/mm] mit hilfe der regel von bernoulli-l´hospital. |
hallo,
also ich habe es mit der regel versucht. soweit ich weiß arbeite ich dort mit den ableitungen da meine ursprüngliche funktion ein unbestimmter ausdruck ist. in diesem fall ln(0) nicht definiert ist.
ich muss ja lediglich den exponenten der e-funktion ableiten, in die ich die ursprungsfunktion umgewandelt habe (von [mm] x^{2x} [/mm] zu [mm] e^{2x*ln(x)})
[/mm]
wenn ich nun ableite komme ich auf:
f ' (x) = 2*(ln(x)*1)
f '' (x) = [mm] \bruch{2}{x}
[/mm]
allerdings kann ich nun weiter ableiten soviel ich will, ich bekomme das x nie aus dem nenner.
kann mir jemand vielleicht sagen wo mein fehler liegt?
und evtl auch die lösung von meinem lehrer erklären?
er schreibt folgendes:
[mm] \limes_{n\rightarrow\ 0+} [/mm] 2x*ln(x) = 2* [mm] \limes_{n\rightarrow\ 0+} \bruch{ln(x)}{1/x} [/mm] = 2* [mm] \limes_{n\rightarrow\ 0+} \bruch{1/x}{-1/x^2} [/mm] = -2* [mm] \limes_{n\rightarrow \ 0+} [/mm] x=0
die rechnung an sich ist mir klar nur der entscheidene schritt nicht.
nämlich wie er von [mm] \limes_{n\rightarrow\ 0+} [/mm] 2x*ln(x) zu [mm] 2*\limes_{n\rightarrow\ 0+} \bruch{ln(x)}{1/x}
[/mm]
ist das eine art erweiterung?
danke für jede hilfe
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Hallo freak-club,
> Bestimmen Sie den grenzwert [mm]\limes_{n\rightarrow\ 0+} x^{2x}[/mm]
> mit hilfe der regel von bernoulli-l´hospital.
Dieser GW ist doch offensichtlich [mm]x^{2x}[/mm], das ist doch konstant im Hinblick auf die Laufvariable [mm]n[/mm] ...
Bitte sorgfältiger aufschreiben und die Vorschaufunktion benutzen!
> hallo,
>
> also ich habe es mit der regel versucht. soweit ich weiß
> arbeite ich dort mit den ableitungen da meine
> ursprüngliche funktion ein unbestimmter ausdruck ist. in
> diesem fall ln(0) nicht definiert ist.
> ich muss ja lediglich den exponenten der e-funktion
> ableiten, in die ich die ursprungsfunktion umgewandelt habe
> (von [mm]x^{2x}[/mm] zu [mm]e^{2x*ln(x)})[/mm]
> wenn ich nun ableite komme ich auf:
>
> f ' (x) = 2*(ln(x)*1) ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Das ist doch nur die innere Ableitung, es ist doch [mm]\left[e^{g(x)}\right]'=e^{g(x)}\cdot{}g'(x)[/mm]
Was der Lehrer macht, ist, sich die Stetigkeit der e-Funktion zu Nutze zu machen, es ist nämlich [mm]\lim\limits_{x\to x_0}e^{g(x)}=e^{\lim\limits_{x\to x_0}g(x)}[/mm]
Er greift sich also den Exponenten heraus und schaut, was der für [mm]x\to 0^+[/mm] treibt.
> f '' (x) = [mm]\bruch{2}{x}[/mm]
>
> allerdings kann ich nun weiter ableiten soviel ich will,
> ich bekomme das x nie aus dem nenner.
> kann mir jemand vielleicht sagen wo mein fehler liegt?
Du kannst die Regel von de l'Hôpital ja nur anwenden, wenn du einen Quotienten [mm]\frac{g(x)}{h(x)}[/mm] hast, der gegen einen unbestimmten Ausdruck der Form [mm]\frac{0}{0}[/mm] oder [mm]\pm\frac{\infty}{\infty}[/mm] strebt.
>
> und evtl auch die lösung von meinem lehrer erklären?
> er schreibt folgendes:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\ 0+}[/mm] 2x*ln(x)
Das ist der Exponent, den er sich heraus greift, um zu schauen, was der so treibt für [mm] $x\to [/mm] 0^+$
> = 2* [mm]\limes_{n\rightarrow\ 0+} \bruch{ln(x)}{1/x}[/mm]
Hier hat er die multiplikative Konstante 2 vorgezogen, warum geht das?
Außerdem ist die Multiplikation mit x doch dasselbe wie Division durch [mm]\frac{1}{x}[/mm]
Mit der Umformung [mm]x\cdot{}\ln(x)=\frac{\ln(x)}{1/x}[/mm] hat er die notwendige Form des Quotienten.
Sowohl Zähler [mm]\ln(x)[/mm] als auch Nenner [mm]1/x[/mm] streben für [mm]x\to 0^+[/mm] gegen [mm]\infty[/mm] bzw. [mm]-\infty[/mm]
Also sind alle Voraussetzungen erfüllt, um de l'Hôpital anwenden zu dürfen.
Also werden Zähler und Nenner getrennt abgeleitet
> = 2* [mm]\limes_{n\rightarrow\ 0+} \bruch{1/x}{-1/x^2}[/mm] = -2* [mm]\limes_{n\rightarrow \ 0+}[/mm] x=0
Das ist gekürzt und dann am Ende der Grenzübergang gemacht.
Der Exponent strebt also gegen 0, damit [mm]e^{2x\ln(x)}[/mm] gegen ...?
Denke an das, was ich zur Stetigkeit weiter oben geschrieben habe ...
>
> die rechnung an sich ist mir klar nur der entscheidene
> schritt nicht.
> nämlich wie er von [mm]\limes_{n\rightarrow\ 0+}[/mm] 2x*ln(x) zu
> [mm]2*\limes_{n\rightarrow\ 0+} \bruch{ln(x)}{1/x}[/mm]
> ist das
> eine art erweiterung?
Nur eine Umschreibung ... siehe oben
Ersetze aber unbedingt jedes [mm]n[/mm] am Limes durch [mm]x[/mm] !!
> danke für jede hilfe
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:12 Mi 31.08.2011 | | Autor: | freak-club |
oh das mit dem n beim limes ist mir nicht aufgefallen, die vorschaufunktion nutze ich jedoch oft, werde aber versuchen es übersichtlicher aufzuschreiben.
danke für die hilfe.
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