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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:30 Di 17.01.2006 | | Autor: | vicky |
| Aufgabe | Bestimmen Sie den größtmöglichen Definitionsbereich der folgenden Funktion in [mm] \IR [/mm] und den angegebenen Grenzwert.
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] = [mm] 2x-\wurzel{4x²-x} [/mm] |
Hallo,
also für den Definitionsbereich habe ich D= [mm] \IR [/mm] ohne (0, [mm] \bruch{1}{4}) [/mm] ermittelt. Nun geht es nur noch um den Grenzwert. Es soll [mm] \bruch{1}{4} [/mm] rauskommen doch die Zwischenschritte sind mir unklar. Muß ich da z.B. die erste Ableitung berechnen?
Vielen Dank für eure Hilfe
Gruß Vicky
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Hallo Vicky,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Bestimmen Sie den größtmöglichen Definitionsbereich der
> folgenden Funktion in [mm]\IR[/mm] und den angegebenen Grenzwert.
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}[/mm] = [mm]2x-\wurzel{4x²-x}[/mm]
> Hallo,
>
> also für den Definitionsbereich habe ich D= [mm]\IR[/mm] ohne (0,
> [mm]\bruch{1}{4})[/mm] ermittelt. Nun geht es nur noch um den
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Grenzwert. Es soll [mm]\bruch{1}{4}[/mm] rauskommen doch die
> Zwischenschritte sind mir unklar. Muß ich da z.B. die erste
> Ableitung berechnen?
Da hast Du erstmal einen unbestimmten Ausdruck "[mm]\infty\;-\;\infty[/mm]", da
[mm]
\begin{gathered}
\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \;2\;x\; = \;\infty \hfill \\
\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \;\sqrt {4\;x^2 \; - \;x} \; = \;\infty \hfill \\
\end{gathered}
[/mm]
Um den Grenzwert für [mm]x\;\to\;\infty[/mm] zu berechnen, bringst Du den Ausdruck
[mm]
\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \;f(x)\; - \;g(x)\; = \;\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \;\frac{{\frac{1}
{{g(x)}}\; - \;\frac{1}
{{f(x)}}}}
{{\frac{1}
{{f(x)}}\;\frac{1}
{{g(x)}}}}[/mm]
auf diese Form. Dieser Ausdruck hat dann die Form "[mm]\bruch{0}{0}[/mm]", womit Du die Regeln von LHospital anwenden kannst.
Also für Zähler und Nenner getrennt die Ableitungen berechnen, und dann diesen Ausdruck untersuchen.
Gruß
MathePower
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