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Hallo,
ich habe die recht einfache Folge
[mm] an=n^2/4^n
[/mm]
leider weiss ich nicht wie ich beweisen soll, dass sie konvergent ist.
mit a=0
kann man das irgendwie mit Äquvivalenzumformungen schaffen?
Danke
Philipp
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:53 Sa 09.02.2008 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
> ich habe die recht einfache Folge
>
> [mm]an=n^2/4^n[/mm]
>
> leider weiss ich nicht wie ich beweisen soll, dass sie
> konvergent ist.
> mit a=0
Es genügt eine recht grobe Abschätzung. Ab n=3 ist [mm] (n+1)^2 [/mm] weniger als das Doppelte von [mm] n^2 [/mm] (muss natürlich bewiesen werden), aber der Nenner [mm] 4^{n+1} [/mm] ist genau das Vierfache von [mm] 4^n. [/mm] Damit ist jedes Folgenglied kleiner als die Hälfte des Vorgangerglieds. Die Folge konvergiert damit schneller als die konvergente Folge [mm] (0,5^n).
[/mm]
>
> kann man das irgendwie mit Äquvivalenzumformungen
> schaffen?
> Danke
> Philipp
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:59 Sa 09.02.2008 | | Autor: | Gogeta259 |
Wenn du L'Hopital kennst dann kannst du den Beweis auch einfacher haben:
sei [mm] f(x)=\bruch{x^2}{4^x}
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}f(x)=\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{x^2}{4^x}
[/mm]
Jetzt siehst du, dass der nenner und Zähler gegen unendlich gehen. Doppelte anwendung von L'Hopital ergibt:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}f(x)=\bruch{2*1}{ln 4 *ln4 *4^x}=0
[/mm]
Damit ist dies auch für n gegen unendlich gezeigt.
Das Problem an der Abschätzung ist, dass man sie Beweisen muss. Aber eigentlich ist es der bessere Weg.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:00 Sa 09.02.2008 | | Autor: | Gogeta259 |
Sorry, ich hab das zweite limes zeichen vergessen.
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