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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:36 Do 07.05.2009 | | Autor: | LiN24 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie, wenn möglich, links- und rechtsseitigen Grenzwert:
a) f(x)= [mm] \wurzel{x-x_{0}} [/mm] für x [mm] \to x_{0}
[/mm]
b) f(x)= [mm] \bruch{|x|}{x} [/mm] für x [mm] \to [/mm] 0
c) [mm] f(x)=2^{\bruch{1}{x}} [/mm] für x [mm] \to [/mm] 0
d) [mm] f(x)=sin\bruch{1}{x} [/mm] für x [mm] \to [/mm] 0 |
Hi,
ich hab mich mal an den Aufgaben versucht, aber es klappt noch nich so richtig
a) [mm] \limes_{x\rightarrow\ x_{0}} [/mm] f(x) = [mm] \limes_{h\rightarrow\ 0} \wurzel{(x_{0}+h)-x_{0}} [/mm] = [mm] \wurzel{h} [/mm] = 0 --> rechter GW
linker GW nicht wegen [mm] \wurzel{-h}
[/mm]
b) [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} [/mm] f(x) = [mm] \limes_{h\rightarrow\ 0} \bruch{|0+h|}{0+h} [/mm] = 1 --> rechts
linker GW -1
ich versuch die grenzwerte durch die h-methode zu brechnen, aber irgendwie klappt es nicht so ganz, könnte mir jemand bitte mal erklären, wie ich das machen kann, bei c und d komm ich grade nicht weiter
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Hallo LiN24,
> Bestimmen Sie, wenn möglich, links- und rechtsseitigen
> Grenzwert:
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> a) f(x)= [mm]\wurzel{x-x_{0}}[/mm] für x [mm]\to x_{0}[/mm]
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> b) f(x)= [mm]\bruch{|x|}{x}[/mm] für x [mm]\to[/mm] 0
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> c) [mm]f(x)=2^{\bruch{1}{x}}[/mm] für x [mm]\to[/mm] 0
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> d) [mm]f(x)=sin\bruch{1}{x}[/mm] für x [mm]\to[/mm] 0
> Hi,
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> ich hab mich mal an den Aufgaben versucht, aber es klappt
> noch nich so richtig
>
> a) [mm]\limes_{x\rightarrow\ x_{0}}[/mm] f(x) =
> [mm]\limes_{h\rightarrow\ 0} \wurzel{(x_{0}+h)-x_{0}}[/mm] =
> [mm]\wurzel{h}[/mm] = 0 --> rechter GW ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> linker GW nicht wegen [mm]\wurzel{-h}[/mm]
>
>
> b) [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0}[/mm] f(x) = [mm]\limes_{h\rightarrow\ 0} \bruch{|0+h|}{0+h}[/mm]
> = 1 --> rechts
>
>
> linker GW -1
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> ich versuch die grenzwerte durch die h-methode zu brechnen,
> aber irgendwie klappt es nicht so ganz, könnte mir jemand
> bitte mal erklären, wie ich das machen kann, bei c und d
> komm ich grade nicht weiter
Bei (c) schreibe [mm] $2^{\frac{1}{x}}=e^{\ln\left(2^{\frac{1}{x}}\right)}=e^{\frac{1}{x}\cdot{}\ln(2)}$
[/mm]
Da die Exponentialfunktion auf [mm] $\IR$ [/mm] stetig ist, dh. [mm] $\lim\limits_{x\to x_0}e^{g(x)}=e^{\lim\limits_{x\to x_0}g(x)}$, [/mm] nimm dir den Exponenten [mm] $\frac{\ln(2)}{x}$ [/mm] heraus und schaue, was für [mm] $x\to [/mm] 0^+$ und [mm] $x\to [/mm] 0^-$ passiert.
Nachher aber [mm] $e^{\text{diesen GW}}$ [/mm] nehmen
Bei (d) ist auch [mm] $\sin$ [/mm] stetig auf ganz [mm] $\IR$, [/mm] was passiert mit [mm] $\frac{1}{x}$ [/mm] für [mm] $x\to [/mm] 0^+$ und [mm] $x\to [/mm] 0^-$, was also mit [mm] $\sin\left(\frac{1}{x}\right)$ [/mm] ?
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:46 Fr 08.05.2009 | | Autor: | LiN24 |
hi,
bei d) bin ich jetzt zu dem Schluss gemacht, dass sin [mm] \bruch{1}{x} [/mm] keinen Grenzwert hat, da [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{1}{x} [/mm] = [mm] \infty [/mm]
aber Sinus ozilliert zwischen zwischen (1;-1)
ist die Begründung so richtig oder fehlt da was, oder darf ich so gar nicht sagen???
bei c) hab ich keinen Grenzwert mit der Exponentialfunktion, sondern linker GW ist 0 und rechter GW ist [mm] \infty [/mm]
würde mich freuen, wenn du mir den Lösungsweg für c) zeigen könntest, kann mir Aufgaben mit ln immer nicht so richtig vorstellen
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Hallo,
zu [mm] $sin(\bruch{1}{x})$:
[/mm]
Betrachte mal die Folge [mm] $sin(k\pi)$ [/mm] für k [mm] \to \infty [/mm] und [mm] $sin(\bruch{\pi}{2}+2k\pi)$ [/mm] für $k [mm] \to \infty$. [/mm] Das ist ja praktisch jeweils das gleiche, die [mm] $sin(\bruch{1}{x})$ [/mm] für $x [mm] \to [/mm] 0$. Dann kriegst du auch eine formal vertretbare Lösung.
zur d)
> $ [mm] 2^{\frac{1}{x}}=e^{\ln\left(2^{\frac{1}{x}}\right)}=e^{\frac{1}{x}\cdot{}\ln(2)} [/mm] $
Wegen der Stetigkeit von e kommt es ja wie gesagt nur auf die Grenzbetrachtung im Exponenten an.
Was ist denn [mm] \limes_{x\rightarrow0+}\bruch{1}{x} [/mm] ln(2) und [mm] \limes_{x\rightarrow0-}\bruch{1}{x} [/mm] ln(2). Beachte, dass der ln(2) einfach nur eine Zahl ist, da könnte genausogut 1, 2 oder 3 stehen, dass macht am ende bei der Grenzwertbetrachtung nichts.
Wenns nicht klappt, dann kann ichs aber auch noch "vorrechnen".
lg Kai
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