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Grenzwert bestimmen: Grenzwert der Folgen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:04 Di 22.09.2009
Autor: Silestius

Aufgabe
Bestimmen Sie die Grenzwerte der Folgen [mm] (x_{n})_{n\inN} [/mm] mit
(a) [mm] x_{n}=\bruch{(n + 2)^3 − (n - 2)^3}{2n^2 + 3} [/mm]

(b) [mm] x_{n}=\bruch{\wurzel{n} - n}{n\wurzel{n} + 2n} [/mm]

(c) [mm] x_{n} =\bruch{cos(\bruch{\pi}{2}n)}{2^n} [/mm]

(d) [mm] x_{n} [/mm] = [mm] \wurzel{n^2 + 2} [/mm] − n
Tipp: [mm] \wurzel{n^2 + 2} [/mm] − n = [mm] \bruch{(\wurzel{n^2 + 2} - n)(\wurzel{n^2 + 2} + n)}{\wurzel{n^2 + 2} + n} [/mm]

Und mal wieder ne Frage:

Einfach den [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] anstelle der [mm] x_{n} [/mm] zu setzen wird ja sicherlich nicht die Lösung sein, oder?
In der Schule haben wir dann nur durchgenommen, dass wir für jedes n untersuchen sollen, ob es gegen null oder [mm] \pm \infty. [/mm] Ist das hier auch gefragt oder muss ich hier anders vorgehen? Unser prof hat da nicht wirklich was zu gesagt, zumindest nicht, dass ich es verstanden hätte und in den Übungen haben wir noch keine solche Aufgabe behandelt.

Vielleicht kann mir einer anhand einer der Aufgaben oben erklären, wie man vorgeht?

Grüße,
Sebastian

        
Bezug
Grenzwert bestimmen: unendlich
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:13 Di 22.09.2009
Autor: Roadrunner

Hallo Sebastian!


Bei Folgen ist mit Grenzwert in 99,9999% aller Fälle [mm] $\limes_{n\rightarrow\red{\infty}}$ [/mm] gemeint.


Gruß vom
Roadrunner


Bezug
                
Bezug
Grenzwert bestimmen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:18 Di 22.09.2009
Autor: fred97


> Hallo Sebastian!
>  
>
> Bei Folgen ist mit Grenzwert in 99,9999% aller Fälle
> [mm]\limes_{x\rightarrow\red{\infty}}[/mm] gemeint.

Das ist ja mehr als bei jedem Vaterschaftstest !

Trotzdem:          [mm]\limes_{\blue{n} \rightarrow\infty}[/mm]


FRED


>  
>
> Gruß vom
>  Roadrunner
>  


Bezug
                        
Bezug
Grenzwert bestimmen: Welche Talkshow? ;-)
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:21 Di 22.09.2009
Autor: Roadrunner

Hallo Fred!


> Das ist ja mehr als bei jedem Vaterschaftstest !

Kommt wohl auf die Talkshow drauf an. [lol]



> Trotzdem:          [mm]\limes_{\blue{n} \rightarrow\infty}[/mm]

[ok] Natürlich ...


Gruß vom
Roadrunner


Bezug
                                
Bezug
Grenzwert bestimmen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:26 Di 22.09.2009
Autor: fred97


> Hallo Fred!
>  
>
> > Das ist ja mehr als bei jedem Vaterschaftstest !
>
> Kommt wohl auf die Talkshow drauf an. [lol]



Wieso ? Bin ich der Vater, so bin ich bei etwa 99,9999%

              Bin ich nicht der Vater, so bin ich bei weniger.

FRED


>  
>
>
> > Trotzdem:          [mm]\limes_{\blue{n} \rightarrow\infty}[/mm]
>  
> [ok] Natürlich ...
>  
>
> Gruß vom
>  Roadrunner
>  


Bezug
                
Bezug
Grenzwert bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:05 Di 22.09.2009
Autor: Silestius

Ok, hab ich mir gedacht. Heißt das dann bspw für a) folgendes:

[mm] x_{n}=\bruch{(n + 2)^3 − (n - 2)^3}{2n^2 + 3} [/mm]

schreib ich dann so: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(n + 2)^3 - (n - 2)^3}{2n^2 + 3} [/mm]

Der Zähler müsste ja dann, wenn man bspw 1 einsetzen würde, positiv bleiben und der Nenner ebenfalls, oder nicht? Reicht das so? Bzw wie schreibe ich das auf?
Und muss ich auch noch gegen [mm] -\infty [/mm] betrachten?

Bezug
                        
Bezug
Grenzwert bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:42 Di 22.09.2009
Autor: MathePower

Hallo Silestius,

> Ok, hab ich mir gedacht. Heißt das dann bspw für a)
> folgendes:
>  
> [mm]x_{n}=\bruch{(n + 2)^3 − (n - 2)^3}{2n^2 + 3}[/mm]
>  
> schreib ich dann so: [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(n + 2)^3 - (n - 2)^3}{2n^2 + 3}[/mm]
>  
> Der Zähler müsste ja dann, wenn man bspw 1 einsetzen
> würde, positiv bleiben und der Nenner ebenfalls, oder
> nicht? Reicht das so? Bzw wie schreibe ich das auf?


Den Zähler mußt Du schon ausrechnen,
damit Du den Grenzwert bestimmen kannst.


>  Und muss ich auch noch gegen [mm]-\infty[/mm] betrachten?


Gruss
MathePower

Bezug
                                
Bezug
Grenzwert bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:01 Di 22.09.2009
Autor: Silestius


> Den Zähler mußt Du schon ausrechnen,
>  damit Du den Grenzwert bestimmen kannst.
>  
>
> >  Und muss ich auch noch gegen [mm]-\infty[/mm] betrachten?

>
>
> Gruss
>  MathePower

So, hab ich getan. Ergebnis ist: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{12n^2+16}{2n^2+3} [/mm]
Kann ich da raus jetzt schließen, dass es gegen [mm] +\infty [/mm] geht? Schließlich ist da ja [mm] x^2, [/mm] was automatisch positiv wäre.
Das wäre dann auch mein Ergebnis? oder muss ich da noch mehr schreiben/beweisen?

Bezug
                                        
Bezug
Grenzwert bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:06 Di 22.09.2009
Autor: MathePower

Hallo Silestius,

> > Den Zähler mußt Du schon ausrechnen,
>  >  damit Du den Grenzwert bestimmen kannst.
>  >  
> >
> > >  Und muss ich auch noch gegen [mm]-\infty[/mm] betrachten?

> >
> >
> > Gruss
>  >  MathePower
> So, hab ich getan. Ergebnis ist:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{12n^2+16}{2n^2+3}[/mm]


[ok]


>  Kann ich da raus jetzt schließen, dass es gegen [mm]+\infty[/mm]
> geht? Schließlich ist da ja [mm]x^2,[/mm] was automatisch positiv
> wäre.
> Das wäre dann auch mein Ergebnis? oder muss ich da noch
> mehr schreiben/beweisen?


Da musst Du jetzt noch etwas mehr machen.

Klammere zunächst [mm]n^{2}[/mm] aus Zähler und Nenner aus.

Lasse dann [mm]n \to \infty[/mm] streben.


Gruss
MathePower

Bezug
                                                
Bezug
Grenzwert bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:47 Di 22.09.2009
Autor: Silestius


> Da musst Du jetzt noch etwas mehr machen.
>  
> Klammere zunächst [mm]n^{2}[/mm] aus Zähler und Nenner aus.
>  
> Lasse dann [mm]n \to \infty[/mm] streben.
>  
>
> Gruss
>  MathePower

Ah, ok. Also dann
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{12n^2+16}{2n^2+3} [/mm]
[mm] \gdw \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n^2(12+\bruch{16}{n^2})}{n^2(2+\bruch{3}{n^2})} [/mm]
[mm] \gdw \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{12+\bruch{16}{n^2}}{2+\bruch{3}{n^2}} [/mm]   (-> hab ich einfach [mm] n^2 [/mm] gekürzt)

Und wenn ich das jetzt gegen [mm] +\infty [/mm] laufen lasse, heißt das ja, dass der Zähler gegen 12 läuft und der Nenner gegen 2, oder? Da die Brüche ja immer kleiner werden.

Und dann wäre der Grenzwert [mm] \bruch{12}{2}? [/mm] oder mach ich es mir wieder zu einfach?^^

Bezug
                                                        
Bezug
Grenzwert bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:51 Di 22.09.2009
Autor: MathePower

Hallo Silestius,

> > Da musst Du jetzt noch etwas mehr machen.
>  >  
> > Klammere zunächst [mm]n^{2}[/mm] aus Zähler und Nenner aus.
>  >  
> > Lasse dann [mm]n \to \infty[/mm] streben.
>  >  
> >
> > Gruss
>  >  MathePower
> Ah, ok. Also dann
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{12n^2+16}{2n^2+3}[/mm]
>  [mm]\gdw \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n^2(12+\bruch{16}{n^2})}{n^2(2+\bruch{3}{n^2})}[/mm]
>  
> [mm]\gdw \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{12+\bruch{16}{n^2}}{2+\bruch{3}{n^2}}[/mm]
>   (-> hab ich einfach [mm]n^2[/mm] gekürzt)

>  
> Und wenn ich das jetzt gegen [mm]+\infty[/mm] laufen lasse, heißt
> das ja, dass der Zähler gegen 12 läuft und der Nenner
> gegen 2, oder? Da die Brüche ja immer kleiner werden.
>
> Und dann wäre der Grenzwert [mm]\bruch{12}{2}?[/mm] oder mach ich
> es mir wieder zu einfach?^^


Nein, Du hast jetzt alles richtig gemacht. [ok]


Gruss
MathePower

Bezug
                                                        
Bezug
Grenzwert bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:19 Di 22.09.2009
Autor: Marcel

Hallo,

> > Da musst Du jetzt noch etwas mehr machen.
>  >  
> > Klammere zunächst [mm]n^{2}[/mm] aus Zähler und Nenner aus.
>  >  
> > Lasse dann [mm]n \to \infty[/mm] streben.
>  >  
> >
> > Gruss
>  >  MathePower
> Ah, ok. Also dann
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{12n^2+16}{2n^2+3}[/mm]
>  [mm]\gdw \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n^2(12+\bruch{16}{n^2})}{n^2(2+\bruch{3}{n^2})}[/mm]
>  
> [mm]\gdw \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{12+\bruch{16}{n^2}}{2+\bruch{3}{n^2}}[/mm]
>   (-> hab ich einfach [mm]n^2[/mm] gekürzt)

>  
> Und wenn ich das jetzt gegen [mm]+\infty[/mm] laufen lasse, heißt
> das ja, dass der Zähler gegen 12 läuft und der Nenner
> gegen 2, oder? Da die Brüche ja immer kleiner werden.
>
> Und dann wäre der Grenzwert [mm]\bruch{12}{2}?[/mm] oder mach ich
> es mir wieder zu einfach?^^

jein; aber das ist schon korrekt. Du solltest dennoch beachten, dass da eigentlich []gewisse Rechenregeln für konvergente Folgen (Satz 5.5) zum Tragen kommen:
[mm] $$\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{12+\bruch{16}{n^2}}{2+\bruch{3}{n^2}}\;\;\underset{Satz\;\;5.5.3}{=}\;\;\bruch{\limes_{n\rightarrow\infty}\left(12+\bruch{16}{n^2}\right)}{\limes_{n\rightarrow\infty}\left(2+\bruch{3}{n^2}\right)}\;\;\underset{Satz\;\;5.5.1}{=}\;\;\bruch{\limes_{n\rightarrow\infty}12+\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{16}{n^2}}{\limes_{n\rightarrow\infty}2+\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{3}{n^2}}\;\;=\;\;\frac{12+0}{6+0}\;\;=\;\;\frac{12}{2}\;\;=\;\;6\,.$$ [/mm]

Dabei ist es - wenn man den Satz 5.5 vernünftig liest - eigentlich so, dass man diese Gleichungskette am besten von rechts nach links liest, um wirklich zu verstehen, wie dieser Satz hier angewendet wird.

(Das man z.B. [mm] $\lim_{n \to \infty}\left(12+\frac{16}{n^2}\right)=\lim_{n \to \infty}12+\lim_{n \to \infty}\frac{16}{n^2}$ [/mm] schreiben kann, weiß man ja mithilfe dieses Satzes erst, wenn bekannt ist, dass sowohl die Folge [mm] $(12)_{n \in \IN}$ [/mm] als auch die Folge [mm] $\left(\frac{16}{n^2}\right)_{n \in \IN}$ [/mm] konvergiert.)

Gruß,
Marcel

Bezug
                                                                
Bezug
Grenzwert bestimmen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:46 Di 22.09.2009
Autor: Silestius

Das ergibt sogar für mich Sinn.^^
Auch wenn ich darauf so nicht kommen würde. Generell mein Problem bei Mathe (was an der Schule aber noch nicht so auffiel).

Danke für die Erklärung und die ganze Hilfe hier!:)

Bezug
                        
Bezug
Grenzwert bestimmen: Form
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:24 Di 22.09.2009
Autor: Marcel


> Ok, hab ich mir gedacht. Heißt das dann bspw für a)
> folgendes:
>  
> [mm]x_{n}=\bruch{\red{(n + 2)^3 − (n - 2)^3}}{2n^2 + 3}[/mm]

bei Deiner Verwendung des Bindestriches wird dieser nicht als Minuszeichen dargestellt. Anstatt
$$(n + [mm] 2)^3 [/mm] − (n - [mm] 2)^3$$ [/mm]
schreibe also bitte
$$(n + [mm] 2)^3 [/mm] - (n - [mm] 2)^3\,.$$ [/mm]

Dass Du dies so meinst, ergibt sich aus dem weiteren Threadverlauf oder durch Anklicken der Formel; aber nicht jeder macht sich die Mühe, das zu kontrollieren.

Tipp:
Kontrolliere deine Aufgaben/Formeln bzw. die Darstellung mit der Vorschau!
  
Gruß,
Marcel

Bezug
        
Bezug
Grenzwert bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:06 Di 22.09.2009
Autor: Silestius

Aufgabe
Bestimmen Sie die Grenzwerte der Folgen $ [mm] (x_{n})_{n\inN} [/mm] $ mit
(b) $ [mm] x_{n}=\bruch{\wurzel{n} - n}{n\wurzel{n} + 2n} [/mm] $

(c) $ [mm] x_{n} =\bruch{cos(\bruch{\pi}{2}n)}{2^n} [/mm] $

(d) $ [mm] x_{n} [/mm] $ = $ [mm] \wurzel{n^2 + 2} [/mm] $ − n
Tipp: $ [mm] \wurzel{n^2 + 2} [/mm] $ − n = $ [mm] \bruch{(\wurzel{n^2 + 2} - n)(\wurzel{n^2 + 2} + n)}{\wurzel{n^2 + 2} + n} [/mm] $  

So, nachdem ich die a) ja jetzt durch die ganze Hilfe hier gut gelöst hab, stellen sich natürlich noch Fragen zu den anderen drei Teilaufgaben:

zu b): Ich hab mir überlegt, ob man hier einfach quadrieren könnte, um die Wurzeln zu entfernen und dann bereits zu einer Lösung kommen könnte? Bzw dann halt wieder [mm] n^2 [/mm] ausklammern?
Also so:

[mm] x_{n}=\bruch{\wurzel{n} - n}{n\wurzel{n} + 2n} |^2 [/mm]

[mm] =\bruch{(\wurzel{n}-n)^2}{(n\wurzel{n}+2n)^2} [/mm]

[mm] =\bruch{n-2\wurzel{n}n+n^2}{n^3+4n^2\wurzel{n}+4n^2} [/mm]

Aber damit hätte ich ja wieder [mm] \wurzel{n} [/mm] Die wollte ich ja eigentlich weg haben (ob's nötig ist oder nicht, keine Ahnung^^)

bei d) bleibt ja, wenn man den Tipp benutzt, ebenfalls die Wurzel bestehen. Deshalb weiß ich da auch nicht weiter.

und bei c) weiß ich gar nicht anzufangen.

Würde mich über weitere Hilfe freuen.:)

Bezug
                
Bezug
Grenzwert bestimmen: b.)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:18 Di 22.09.2009
Autor: XPatrickX

Hallo,

bei b.) klammere n aus und kürze, dies ergibt:

[mm] $$\frac{\frac{1}{\wurzel{n}}-1}{\wurzel{n}+2}$$ [/mm]

Mache nun den Grenzübergang.

Gruß Patrick

Bezug
                        
Bezug
Grenzwert bestimmen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:02 Mi 23.09.2009
Autor: Silestius

Ah, okay. Hat geklappt.:) Danke!

Bezug
                
Bezug
Grenzwert bestimmen: d.)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:18 Di 22.09.2009
Autor: XPatrickX

Hast du wirklich mal den Nenner ausmultipliziert?
Dann solltest du es eigentlich sehen....

Bezug
                        
Bezug
Grenzwert bestimmen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:03 Mi 23.09.2009
Autor: Silestius

Ich hab mich letzte Nacht nochmal reingehängt und hab's nun... Manchmal ist man blind.^^

Bezug
                
Bezug
Grenzwert bestimmen: c.)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:19 Di 22.09.2009
Autor: XPatrickX

Bedenke:

[mm] $$|\cos(z)|\le [/mm] 1 [mm] \; \forall z\in \IR$$ [/mm]

Bezug
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