Grenzwert bestimmen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:26 Sa 09.01.2010 | | Autor: | toddelly |
| Aufgabe | Beweisen Sie, dass die folgenden Grenzwerte existieren und bestimmen sie:
a) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (1+\bruch{1}{2n+1})^n
[/mm]
b) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (1+1\bruch {n}{2^n})^n [/mm] |
Nachdem ich mit den Aufgaben nicht wirklich klargekommen bin hab ich die Grenzwerte mit nem Computerprogamm berechnet.
Der Grenzwert für a ist [mm] e^1/2 [/mm] also müsste ich die Formel ja irgendwie auf [mm] (1+\bruch{1/2}{n})^n [/mm] umformen...leider komm ich da auch noch stundenlangem ausprobieren nicht hin.
Der zweite Grenzwert soll 1 sein, da hab ich leider nicht wirklich ne Idee. Wie beweist man das die Grenzwerte überhaupt existieren?
Vielen Dank für die Hilfe!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:29 Sa 09.01.2010 | | Autor: | toddelly |
bei der Aufgabenstellung ist mir ein Tippfehler unterlaufen dass sollte bei b)
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{n}{2^n})^n [/mm] heißen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:56 Sa 09.01.2010 | | Autor: | AT-Colt |
Bei Aufgabe a) kannst Du einfach mit dem erweitern, was Dir für die Exponentialfolge fehlt. (Es reicht, wenn Du [mm] $\left(1+\bruch{1/2}{f(n)}\right)^{f(n)}$ [/mm] bekommst, wobei f(n) monoton wachsend sein sollte, $f(n) = [mm] n+\bruch{1}{2}$ [/mm] wäre absolut in Ordnung.) Dann hast Du quasi ein Produkt aus zwei Folgen (wovon eine die Exponentialfolge ist), die Du einzeln auf Konvergenz überprüfen kannst. Ich schätze, die andere Folge wirst Du (auf ähnliche Weise) auch nochmal bearbeiten müssen.
Aber was gilt denn dann, wenn zwei Folgen konvergent sind, für das Produkt dieser Folgen?
Bei Aufgabe b) sehe ich im Moment keine direkte Lösung, aber folgendes könnte gehen: Zeige, dass es ein [mm] $n_{0}$ [/mm] gibt, ab dem [mm] $a_{n} [/mm] = [mm] \left(1+\bruch{n}{2^{n}}\right)^{n}$ [/mm] monoton fallend ist und für jedes [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ ein [mm] $n_{1}$, [/mm] so dass [mm] $a_{n_{1}} [/mm] - 1 < [mm] \epsilon$.
[/mm]
Eine Warnung vorweg: Das hier nutzt explizit, dass Du schon irgendwie an den Grenzwert rangekommen bist. In der Klausur könnte das ungleich schwieriger sein.
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