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| Aufgabe | Man bestimme folgenden Grenzwert:
[mm] \limes_{x\rightarrow0} =\bruch{e^x - e^{-x}}{ln(e-x)+x-1} [/mm] |
Guten Abend,
kann mir jemand einen Tipp geben, wie ich bei so einer Aufgabe am Besten herrangehe?
Ich hab mal für das x = 0 eingesetzt und festgestellt, das der Zähler ungefähr das doppelte vom Nenner ist....
Viele Grüße
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> Man bestimme folgenden Grenzwert:
> [mm]\limes_{x\rightarrow0} =\bruch{e^x - e^{-x}}{ln(e-x)+x-1}[/mm]
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> Guten Abend,
> kann mir jemand einen Tipp geben, wie ich bei so einer
> Aufgabe am Besten herrangehe?
> Ich hab mal für das x = 0 eingesetzt und festgestellt,
> das der Zähler ungefähr das doppelte vom Nenner ist....
>
Hallo, guten Abend.
Ich kann das nicht bestätigen, dass für $x=0$ der Zähler doppelt so groß ist wie der Nenner. Rechne nochmal genau nach, was für $x=0$ rauskommt. Danach kommst Du mit den Regeln nach l'hopital weiter.
viele Grüße, Andreas
>
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Hallo Andreas,
Danke für deine Antwort!
Nicht, dass ich mich jetzt wieder verrechnet habe, wenn ich x=0 setze bekomm ich 0 raus, hoffe ich hab mich nicht wieder verrechnet. Zähler: 1-1
Nenner: ln(1)-1 = -1
[mm] \bruch{0}{-1}
[/mm]
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Hallo,
es gilt doch [mm] \ln(e)=1.
[/mm]
Gruß Patrick
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Hallo Patrick,
ah, okay, hatte ich doch glatt vergessen. Dann also [mm] \bruch{0}{0}
[/mm]
Und dann diese Formel anwenden?
[mm] \limes_{x\rightarrow a}=\bruch{f(x)}{g(x)}=\bruch{f'(a)}{g'(a)}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:04 Mo 15.02.2010 | | Autor: | M.Rex |
> Hallo Patrick,
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> ah, okay, hatte ich doch glatt vergessen. Dann also
> [mm]\bruch{0}{0}[/mm]
Ja, und das schreit geradezu nach der Anwendung der  LHospitalscheRegeln
>
> Und dann diese Formel anwenden?
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow a}=\bruch{f(x)}{g(x)}=\bruch{f'(a)}{g'(a)}[/mm]
Das ist so falsch, du meinst wahrscheinlich:
[mm] \limes_{x\rightarrow a}\bruch{f(x)}{g(x)}
[/mm]
[mm] =\limes_{x\rightarrow a}\bruch{f'(x)}{g'(x)}
[/mm]
Marius
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Ich habs nun mal durchgerechnet.
f(x) = [mm] e^x [/mm] - [mm] e^{-x}
[/mm]
f(0) = 0
g(x) = ln(e-x)+x-1
g(0) = 0
f'(x) = [mm] e^x [/mm] + [mm] e^{-x}
[/mm]
f'(0) = 0
g'(x) = [mm] \bruch{1}{x}(e-1)
[/mm]
g'(0) = [mm] \bruch{1}{x // Oder hier 0?}(e-1) [/mm]
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> Ich habs nun mal durchgerechnet.
>
Hi!
> f(x) = [mm]e^x[/mm] - [mm]e^{-x}[/mm]
> f(0) = 0
> g(x) = ln(e-x)+x-1
> g(0) = 0
>
> f'(x) = [mm]e^x[/mm] + [mm]e^{-x}[/mm]
> f'(0) = 0
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> g'(x) = [mm]\bruch{1}{x}(e-1)[/mm]
>
> g'(0) = [mm]\bruch{1}{x // Oder hier 0?}(e-1)[/mm]
>
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Nach welchen Regeln hast du hier abgeleitet? Du musst hier mit der Kettenregel ran!
Grüße, Stefan.
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Hallo Stefan,
ähm ja, ich hab ln einfach alleine Abgeleitet. Wie leite ich aber dieses hier ab mit der Kettenregel? ln(e-x)+x-1
[mm] h'(x)\cdot{}g'(h(x))
[/mm]
ist ln = h'(x) ?
Oder wie muss ich den Term betrachten?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:50 Mo 15.02.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Du hast.
[mm] g(x)=\green{\ln(x-e)}\red{+}\blue{x}\red{+}\color{yellow}{1}
[/mm]
Also:
[mm] g'(x)=\green{\bruch{1}{x-e}*(-e)}\red{+}\blue{1}\red{+}\color{yellow}{0}
[/mm]
[mm] =\bruch{-e}{x-e}+1
[/mm]
Also [mm] g'(0)=\ldots
[/mm]
Marius
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Kannst du mir das mal genauer zeigen wie du drauf kommst?
$ [mm] g(x)=\green{\ln(x-e)}\red{+}\blue{x}\red{+}\color{yellow}{1} [/mm] $
$ [mm] g'(x)=\green{\bruch{1}{x-e}\cdot{}(-e)}\red{+}\blue{1}\red{+}\color{yellow}{0} [/mm] $
Das blaue und gelbe ist klar. Genauso wie ln = [mm] \bruch{1}{x}
[/mm]
zu g'(0), Kann ich dann einfach in das schon Abgeleitete die Null einsetzten $ [mm] =\bruch{-e}{0-e}+1 [/mm] $ Oder muss ich von hier anfangen $ [mm] g(x)=\green{\ln(x-e)}\red{+}\blue{x}\red{+}\color{yellow}{1} [/mm] $
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:17 Mo 15.02.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Sorry, ich habe im Grünen Teil nen Fehler drin.
[mm] h(x)=\ln(x-e) [/mm] ergibt, mit der Kettenregel abgeleitet:
[mm] h'(x)=\underbrace{\bruch{1}{x-e}}_{\text{äußere Abl}}*\underbrace{1}_{\text{innere Abl}}
[/mm]
Marius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Mo 15.02.2010 | | Autor: | Steffi21 |
Hallo Marius, im Nenner steht ln(e-x) nicht ln(x-e) Steffi
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So nochmal mit dem Term
$ [mm] g(x)=\green{\ln(e-x)}\red{+}\blue{x}\red{+}\color{yellow}{1} [/mm] $
Bei der Kettenregel hat man doch immer innere h(x) und äußere Ableitung a(x)
mein h(x) ist hier ln und h'(x) = [mm] \bruch{1}{x}
[/mm]
a(x) = (e-x) a'(x) = (e-1) Oder?
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Hallo,
> So nochmal mit dem Term
>
> [mm]g(x)=\green{\ln(e-x)}\red{+}\blue{x}\red{+}\color{yellow}{1}[/mm]
>
> Bei der Kettenregel hat man doch immer innere h(x) und
> äußere Ableitung a(x)
Ja, du meinst innere und äußere Funktion.
>
> mein h(x) ist hier ln und h'(x) = [mm]\bruch{1}{x}[/mm]
>
> a(x) = (e-x) a'(x) = (e-1) Oder?
Nein, äußere Funktion ist [mm] $a(x)=\ln(x)$, [/mm] innere ist $h(x)=e-x$
Du brauchst also [mm] $a'(h(x))\cdot{}h'(x)$
[/mm]
Damit [mm] $\left[\ln(e-x)\right]'=\underbrace{\frac{1}{e-x}}_{\text{äußere Abl. an der Stelle h(x)}} [/mm] \ [mm] \cdot{} [/mm] \ [mm] \underbrace{(-1)}_{\text{innere Abl.}}=....$
[/mm]
LG
schachuzipus
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Hallo schachuzipus,
okay Danke.
$ [mm] \left[\ln(e-x)\right]'=\underbrace{\frac{1}{e-x}}_{\text{äußere Abl. an der Stelle h(x)}} [/mm] \ [mm] \cdot{} [/mm] \ [mm] \underbrace{(-1)}_{\text{innere Abl.}}= \bruch{-1}{e+x} [/mm] +1$ = g'(x)
Falls das so richtig ist, kann ich dann einfach g'(0) [mm] \bruch{-1}{e+0} [/mm] +1 rechnen?
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Hallo Loddar,
$ = [mm] \bruch{-1}{-e+x} [/mm] +1 $ = g'(x)
So hoffe jetzt stimmts 
g'(0)$ [mm] \bruch{-1}{-e+0} [/mm] $ +1 = 2
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Ähm deswegen:
$ [mm] \left[\ln(e-x)\right]'={\frac{1}{e-x}} [/mm] \ [mm] \cdot{}{(-1)}=.... [/mm] $
Wenn ich doch alles mal (-1) multipliziere. Oder multipliziere ich nur den Zähler mit (-1) ?
Dann so:g'(x) [mm] {\frac{-1}{e-x}} [/mm] +1
g'(0) [mm] ={\frac{-1}{e-0}} [/mm] +1
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> Ähm deswegen:
>
> [mm]\left[\ln(e-x)\right]'={\frac{1}{e-x}} \ \cdot{}{(-1)}=....[/mm]
>
> Wenn ich doch alles mal (-1) multipliziere. Oder
> multipliziere ich nur den Zähler mit (-1) ?
>
> Dann so:g'(x) [mm]{\frac{-1}{e-x}}[/mm] +1
>
Das obige Ergebnis is' richtig.
Wenn Du zähler und Nenner je mit $-1$ multiplizierst, dann multiplizierst Du lt. Multiplikationsregel für Brüche insgesamt gesehen mit [mm] $\frac{-1}{-1}=1$. [/mm] Wenn Du "nur" den Zähler (oder Nenner) mit $-1$ multiplizierst, dann multiplizierst Du den ganzen Bruch mit $-1$.
> g'(0) [mm]={\frac{-1}{e-0}}[/mm] +1
>
Mit dieser Ableitung kommst du weiter.
Gruß Andreas
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Achso. Okay. Danke
Also dann habe ich alles:
f'(x) [mm] e^x [/mm] + [mm] e^{-x}
[/mm]
g'(x) $ [mm] {\frac{-1}{e-x}} [/mm] $ +1
Kann ich das dann einfach in diese Formel einsetzten?
$ [mm] =\limes_{x\rightarrow a}\bruch{f'(x)}{g'(x)} [/mm] $
= [mm] \limes_{x\rightarrow a}\bruch{e^x+e^{-x}}{\frac{-1}{e-x}+1} [/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:24 Mo 15.02.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo!
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") ! So stimmt es ...
Gruß
Loddar
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Okay, ja aber nun wie rechne ich weiter für x wieder 0 einsetzten?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:32 Mo 15.02.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo!
Richtig erkannt.
Gruß
Loddar
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$ [mm] \limes_{x\rightarrow a}\bruch{e^x+e^{-x}}{\frac{-1}{e-x}+1} [/mm] $
[mm] =\limes_{x\rightarrow a}\bruch{2}{\frac{-1}{1}+1} [/mm] = [mm] \bruch{2}{0}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:55 Mo 15.02.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
falsch. einfach was sorgfältiger x=0 einsetzen!
Du vertust viel Zeit mit schreiben, die du beser mit sorgfältiger rechnen verbrächtest.
Gruss leduart
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Hallo,
$ [mm] \limes_{x\rightarrow a}\bruch{e^x+e^{-x}}{\frac{-1}{e-x}+1} [/mm] $
Ja, aber der Zähler stimmt doch?
f'(x) = $ [mm] e^x [/mm] $ + $ [mm] e^{-x} [/mm] $
f'(0) = 2
Jetzt der Nenner:
[mm] f'(x){\frac{-1}{e-x}+1} [/mm] $
f(0) = [mm] {\frac{-1}{e-0}+1}
[/mm]
e-0 ist doch = 1 ?
Oder wie wird noch mal ein Bruch unterm Bruch berechnet?
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Hallo,
Zähler: ist ok
Nenner: e-0=e also [mm] -\bruch{1}{e}+1
[/mm]
Steffi
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Hallo Steffi,
$ [mm] -\bruch{1}{e} [/mm] = - 0,3678 + 1 = 0,6322
$ [mm] \limes_{x\rightarrow a}\bruch{e^x+e^{-x}}{\frac{-1}{e-x}+1} [/mm] $
[mm] =\frac{2}{0,6322}
[/mm]
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Hallo,
[mm] \approx3,163 [/mm] besser [mm] \bruch{2e}{e-1}
[/mm]
Steffi
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