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| Aufgabe | Bestimmen Sie den Grenzwert von
a) [mm] \wurzel{n}-\wurzel{n-2}
[/mm]
[mm] b)\wurzel{n}-\wurzel{2n}
[/mm]
[mm] c)\bruch{1}{n}*cos(2^n) [/mm] |
Ich komme mal wieder bei meiner Examensvorbereitung bei der Grenzwertbestimmung nicht klar. Bisher habe ich gemacht:
a) [mm] \wurzel{n}-\wurzel{n-2}= \bruch{(\wurzel{n}-\wurzel{n-2})*\wurzel{n}+\wurzel{n-2})}{\wurzel{n}+\wurzel{n-2}}
[/mm]
[mm] =\bruch{2}{\wurzel{n}+\wurzel{n-2}}
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{2}{\wurzel{n}+\wurzel{n-2}}
[/mm]
[mm] =\bruch{\limes_{n\rightarrow\infty}2}{\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel{n}+\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel{n+2}}.
[/mm]
Da [mm] \wurzel{n}\to\infty [/mm] und [mm] \wurzel{n+2}\to\infty, [/mm] gilt insgesamt [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}=\bruch{2}{\wurzel{n}+\wurzel{n-2}}=0.
[/mm]
Stimmt das soweit? Wie kann ich das besser formal aufschreiben?
zu b)
[mm] \wurzel{n}-\wurzel{2n}=\bruch{-n}{\wurzel{n}+\wurzel{2n}}. [/mm]
Nun habe ich das Problem: [mm] -n\to\-infty [/mm] (minus unendlich, ich weiß nciht, wie ich das schreiben kann), [mm] \wurzel{n}+\wurzel{2n}\to\infty. [/mm] Was mach ich denn jetzt?
zu c).
Hier habe ich keine Ahnung, außer dass [mm] \bruch{1}{n}\to [/mm] 0. Aber was mach ich mit dem Cosinus?
Könnt ihr mir helfen?
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Mir ist noch etwas zu c) eingefallen.
Man kann die Folge ja in zwei unterteilen, in [mm] a_n=\bruch{1}{n} [/mm] und [mm] b_n=cos(2^n).
[/mm]
Da [mm] a_n [/mm] Nullfolge ist und [mm] b_n [/mm] beschränkt ist, kann [mm] \bruch{1}{n}*cos(2^n) [/mm] nur Nullfolge sein, oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:53 Di 30.11.2010 | | Autor: | statler |
Moin!
> Mir ist noch etwas zu c) eingefallen.
>
> Man kann die Folge ja in zwei unterteilen, in
> [mm]a_n=\bruch{1}{n}[/mm] und [mm]b_n=cos(2^n).[/mm]
> Da [mm]a_n[/mm] Nullfolge ist und [mm]b_n[/mm] beschränkt ist, kann
> [mm]\bruch{1}{n}*cos(2^n)[/mm] nur Nullfolge sein, oder?
Korrekt!
Dieter
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:53 Di 30.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Mir ist noch etwas zu c) eingefallen.
>
> Man kann die Folge ja in zwei unterteilen, in
> [mm]a_n=\bruch{1}{n}[/mm] und [mm]b_n=cos(2^n).[/mm]
> Da [mm]a_n[/mm] Nullfolge ist und [mm]b_n[/mm] beschränkt ist, kann
> [mm]\bruch{1}{n}*cos(2^n)[/mm] nur Nullfolge sein, oder?
Richtig
FRED
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:18 Di 30.11.2010 | | Autor: | Walde |
hi sommerregen,
> Bestimmen Sie den Grenzwert von
>
> a) [mm]\wurzel{n}-\wurzel{n-2}[/mm]
>
> [mm]b)\wurzel{n}-\wurzel{2n}[/mm]
>
> [mm]c)\bruch{1}{n}*cos(2^n)[/mm]
> Ich komme mal wieder bei meiner Examensvorbereitung bei
> der Grenzwertbestimmung nicht klar. Bisher habe ich
> gemacht:
>
> a) [mm]\wurzel{n}-\wurzel{n-2}= \bruch{(\wurzel{n}-\wurzel{n-2})*\wurzel{n}+\wurzel{n-2})}{\wurzel{n}+\wurzel{n-2}}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{2}{\wurzel{n}+\wurzel{n-2}}[/mm]
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{2}{\wurzel{n}+\wurzel{n-2}}[/mm]
Müsst ihr ab hier wirklich noch weiter begründen, warum das eine Nullfolge ist?
>
> [mm]=\bruch{\limes_{n\rightarrow\infty}2}{\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel{n}+\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel{n+2}}.[/mm]
>
> Da [mm]\wurzel{n}\to\infty[/mm] und [mm]\wurzel{n+2}\to\infty,[/mm] gilt
> insgesamt
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}=\bruch{2}{\wurzel{n}+\wurzel{n-2}}=0.[/mm]
>
> Stimmt das soweit? Wie kann ich das besser formal
> aufschreiben?
Ich frage, weil die Rechenregeln für Grenzwerte formal nur gelten, wenn diese auch existieren, aber zB [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel{n} [/mm] existiert ja nicht. Wenn man partout noch weiter was schreiben will, könnte man noch [mm] 0\le\bruch{2}{\wurzel{n}+\wurzel{n-2}}\le\bruch{2}{{\red\wurzel{n}}} [/mm] schreiben und dann [mm] 0\le\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{2}{\wurzel{n}+\wurzel{n-2}}\le\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{2}{{\red\wurzel{n}}} [/mm] =0 machen. Scheint mir aber übertrieben ausführlich.
EDIT: Fehler korrigiert, Danke.
>
> zu b)
> [mm]\wurzel{n}-\wurzel{2n}=\bruch{-n}{\wurzel{n}+\wurzel{2n}}.[/mm]
>
> Nun habe ich das Problem: [mm]-n\to\-infty[/mm] (minus unendlich,
> ich weiß nciht, wie ich das schreiben kann),
> [mm]\wurzel{n}+\wurzel{2n}\to\infty.[/mm] Was mach ich denn jetzt?
Tipp1: [mm] \wurzel{2n}=\wurzel{2}*\wurzel{n}
[/mm]
Tipp2 [mm] \wurzel{n} [/mm] ausklammern
dann müsstest du sehen, wie sich die Folge verhält.
>
> zu c).
> Hier habe ich keine Ahnung, außer dass [mm]\bruch{1}{n}\to[/mm] 0.
> Aber was mach ich mit dem Cosinus?
Da hattest du ja schon die richtige Idee. Ausführlich aufgeschrieben, wäre das dann:
Da [mm] |cos(2^n)|\le1, [/mm] gilt einerseits [mm] \bruch{1}{n}*cos(2^n)\le\bruch{1}{n} [/mm] und andererseits [mm] -\bruch{1}{n}\le\bruch{1}{n}*cos(2^n), [/mm] also
[mm] -\bruch{1}{n}\le\bruch{1}{n}*cos(2^n)\le\bruch{1}{n}
[/mm]
und somit [mm] 0=\lim_{n\to\infty}-\bruch{1}{n}\le\lim_{n\to\infty}\bruch{1}{n}*cos(2^n)\le\lim_{n\to\infty}\bruch{1}{n}=0,
[/mm]
also [mm] \lim_{n\to\infty}\bruch{1}{n}*cos(2^n)=0
[/mm]
>
>
> Könnt ihr mir helfen?
>
Ich hoffe, wir konnten.
LG walde
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Vielen Dank für deine Hilfe!
Du meinst also bei a), dass meine Begründung so in Ordnung ist? Das freut mich :)
Bei b) bin ich auch weitergekommen:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel{n}-\wurzel{2n}=\limes_{n\rightarrow\infty}(\wurzel{n}*(1-\wurzel{2}))=
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel{n}*\limes_{n\rightarrow\infty}(1-\wurzel{2}).
[/mm]
Da [mm] \wurzel{n}\to \infty [/mm] und [mm] (1-\wurzel{2})\to (1-\wurzel{2}), [/mm] mit [mm] (1-\wurzel{2})<0 [/mm] folgt insgesamt
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel{n}-\wurzel{2n}=-\infty.
[/mm]
Stimmt das so?
Danke auch für deine näheren Erläuterungen für c!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:09 Di 30.11.2010 | | Autor: | statler |
Hallo!
> Bei b) bin ich auch weitergekommen:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel{n}-\wurzel{2n}=\limes_{n\rightarrow\infty}(\wurzel{n}*(1-\wurzel{2}))=[/mm]
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel{n}*\limes_{n\rightarrow\infty}(1-\wurzel{2}).[/mm]
>
> Da [mm]\wurzel{n}\to \infty[/mm] und [mm](1-\wurzel{2})\to (1-\wurzel{2}),[/mm]
> mit [mm](1-\wurzel{2})<0[/mm] folgt insgesamt
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel{n}-\wurzel{2n}=-\infty.[/mm]
>
> Stimmt das so?
Ja, tut es (mit untiger Einschränkung). Die Aufgabe soll wohl einfach nur ein bißchen aufs Glatteis führen, ist also der Wetterlage angemessen.
Nach meiner Philosophie müßte die richtige Antwort allerdings lauten: Die Folge [mm] (a_n) [/mm] mit [mm] a_n [/mm] := [mm] \wurzel{n}-\wurzel{2n} [/mm] hat keinen Grenzwert.
Gruß aus Harburg
Dieter
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> Ja, tut es (mit untiger Einschränkung). Die Aufgabe soll
> wohl einfach nur ein bißchen aufs Glatteis führen, ist
> also der Wetterlage angemessen.
>
> Nach meiner Philosophie müßte die richtige Antwort
> allerdings lauten: Die Folge [mm](a_n)[/mm] mit [mm]a_n[/mm] :=
> [mm]\wurzel{n}-\wurzel{2n}[/mm] hat keinen Grenzwert.
>
Danke für deine Hilfe!
Könnte man auch schreiben: Die Folge[mm](a_n)[/mm] mit [mm]a_n[/mm] := [mm]\wurzel{n}-\wurzel{2n}[/mm] divergiert gegen [mm] -\infty [/mm] (und hat damit ja im Sinne S.s keinen Grenzwert)?
Liebe Grüße!
> Gruß aus Harburg
> Dieter
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:30 Di 30.11.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Sommerregen!
Ja, das kann man sagen.
Man redet dann auch von ![[]](/images/popup.gif) bestimmter Divergenz, wenn eine Folge für [mm]n\rightarrow\infty[/mm] gegen [mm]\pm\infty[/mm] strebt.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 10:09 Di 30.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
$ [mm] 0\le\bruch{2}{\wurzel{n}+\wurzel{n-2}}\le\bruch{2}{n} [/mm] $
stimmt nicht, da [mm] n>\wurzel{n}
[/mm]
aber das [mm] 1/\wurzel{n} [/mm] ebenso konvergiert,wenn auch langsamer spielt es für den Beweis keine Rolle.sollte aber nicht in ner Aufgabe stehen
Gruss leduart
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