Grenzwert bestimmen < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:39 Di 30.11.2010 | | Autor: | ella87 |
| Aufgabe | Seien [mm]D, W \subset \IR [/mm] und [mm]k \in \{ 0, \bruch{\pi}{2} , \pi \} [/mm]. Untersuchen Sie die folgenden Funktionen auf Grenzwerte für [mm] x \to k [/mm]:
a: [mm]D \to W [/mm] , [mm]x \mapsto a(x) = sin \left( \bruch{1}{x} \right) [/mm]
b: [mm]D \to W [/mm] , [mm]x \mapsto b(x) = x * sin \left(\bruch{1}{x}\right) [/mm]
c: [mm]D \to W [/mm] , [mm]x \mapsto c(x) = \bruch{cos( x)}{x} [/mm]
d: [mm]D \to W [/mm] , [mm]x \mapsto d(x) = \bruch{cos( x) }{x^2} [/mm]
Begründen Sie ihre Antwort! |
dann steht da noch als Fußnote, dass ein exakter Beweis mit den Methoden aus der VL nicht möglich ist! Super oder....
ich hab man folgendes gemacht:
also unser Def von GW für Funktionen kann man knicken, ist nämlich die bei der jede Folge konvergieren muss und die kann ich ja nicht alle aufschreiben 
hab mir gedacht:
[mm]\limes_{x \rightarrow 0} \bruch{1}{x} = \infinity[/mm] divergiert also, weil der Nenner immer kleiner wird, während der Zähler gleich bleibt.
folglich divergiert auch [mm]sin \left( \bruch{1}{x} \right) [/mm]
[mm]\limes_{x \rightarrow \bruch{\pi}{2}} \bruch{1}{x} = \bruch{2}{\pi}[/mm] ( hab ich eingesetzt, was wohl keine gute Begründung ist...)
also ist [mm] [mm]\limes_{x \rightarrow \bruch{\pi}{2}}sin \left( \bruch{1}{x} \right) = sin (\bruch{\pi}{2}) [/mm]
und [mm]\limes_{x \rightarrow \pi} \bruch{1}{x} = \bruch{1}{\pi}[/mm] und dann ist [mm]\limes_{x \rightarrow \pi}sin \left( \bruch{1}{x} \right) = sin (\bruch{1}{\pi}) [/mm]
stimmt das so? und wie begründet man das so, dass man auch Punkte dafür bekommt??
ne Korrektur und eine Anregung wäre nett =)
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Hallo ella87,
> Seien [mm]D, W \subset \IR[/mm] und [mm]k \in \{ 0, \bruch{\pi}{2} , \pi \} [/mm].
> Untersuchen Sie die folgenden Funktionen auf Grenzwerte
> für [mm]x \to k [/mm]:
>
> a: [mm]D \to W[/mm] , [mm]x \mapsto a(x) = sin \left( \bruch{1}{x} \right)[/mm]
>
> b: [mm]D \to W[/mm] , [mm]x \mapsto b(x) = x * sin \left(\bruch{1}{x}\right)[/mm]
>
> c: [mm]D \to W[/mm] , [mm]x \mapsto c(x) = \bruch{cos( x)}{x}[/mm]
>
> d: [mm]D \to W[/mm] , [mm]x \mapsto d(x) = \bruch{cos( x) }{x^2}[/mm]
>
> Begründen Sie ihre Antwort!
> dann steht da noch als Fußnote, dass ein exakter Beweis
> mit den Methoden aus der VL nicht möglich ist! Super
> oder....
>
> ich hab man folgendes gemacht:
> also unser Def von GW für Funktionen kann man knicken,
> ist nämlich die bei der jede Folge konvergieren muss und
> die kann ich ja nicht alle aufschreiben
>
> hab mir gedacht:
> [mm]\limes_{x \rightarrow 0} \bruch{1}{x} = \infinity[/mm]
> divergiert also, weil der Nenner immer kleiner wird,
> während der Zähler gleich bleibt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> folglich divergiert auch [mm]sin \left( \bruch{1}{x} \right)[/mm]
Begründe hier noch "folglich" ! Recht hast du mit der Aussage ...
>
> [mm]\limes_{x \rightarrow \bruch{\pi}{2}} \bruch{1}{x} = \bruch{2}{\pi}[/mm]
> ( hab ich eingesetzt, was wohl keine gute Begründung
> ist...)
Wie wäre es mit der Folgenstetigkeit?
Sinus ist eine stetige Funktion, also ...
> also ist [mm]\limes_{x \rightarrow \bruch{\pi}{2}}sin \left( \bruch{1}{x} \right) = sin (\bruch{\pi}{2})[/mm]
Nana, sauber abschreiben: [mm]\lim ... \ = \ \sin\left(\red{\frac{2}{\pi}}\right)[/mm]
> und [mm]\limes_{x \rightarrow \pi} \bruch{1}{x} = \bruch{1}{\pi}[/mm] und dann ist [mm]\limes_{x \rightarrow \pi}sin \left( \bruch{1}{x} \right) = sin (\bruch{1}{\pi})[/mm]
> stimmt das so? und wie begründet man das so, dass man auch Punkte > dafür bekommt??
Siehe oben (Folgenstetigkeit!)
> ne Korrektur und eine Anregung wäre nett =)
Gruß
schachuzipus
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