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Grenzwert bestimmen: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 03:44 Mi 16.11.2011
Autor: sarah88

Aufgabe
Bestimmen Sie jeweils den Grenzwert der folgenden Folgen an, n=1 gegen unendlich.

an = [mm] \sqrt{n} [/mm] ( [mm] \sqrt{n+1} [/mm] - [mm] \sqrt{n} [/mm] )



Ich habe diese aufgabe gerechnet und bin mir sehr unsicher ob das ergebnis stimmt...es wäre nett wenn jemand mal einen blick drüber werfen könnte :)

[Dateianhang nicht öffentlich]

somit habe ich raus, dass es kein genaues ergebnis gibt, da unendlich mal null nicht definiert ist.


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
        
Bezug
Grenzwert bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:49 Mi 16.11.2011
Autor: fred97


> Bestimmen Sie jeweils den Grenzwert der folgenden Folgen
> an, n=1 gegen unendlich.
>  
> an = [mm]\sqrt{n}[/mm] ( [mm]\sqrt{n+1}[/mm] - [mm]\sqrt{n}[/mm] )
>  
>
> Ich habe diese aufgabe gerechnet und bin mir sehr unsicher
> ob das ergebnis stimmt...es wäre nett wenn jemand mal
> einen blick drüber werfen könnte :)
>  
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>  
> somit habe ich raus, dass es kein genaues ergebnis gibt, da
> unendlich mal null nicht definiert ist.


Das stimmt nicht.

Es ist $ [mm] \sqrt{n} [/mm]  (  [mm] \sqrt{n+1} -\sqrt{n} [/mm]  ) [mm] =\bruch{ \sqrt{n}}{ \sqrt{n+1} +\sqrt{n}}$ [/mm]

Klammere im Zähler und Nenner  [mm] \sqrt{n} [/mm] aus.

FRED


>  
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


Bezug
                
Bezug
Grenzwert bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:33 Mi 16.11.2011
Autor: sarah88

mir wird irgendwie nicht klar wie du darauf gekommen bist :/

Bezug
                        
Bezug
Grenzwert bestimmen: 3. binomische Formel
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:35 Mi 16.11.2011
Autor: Roadrunner

Hallo Sarah!


Fred hat den Ausgangsterm mit [mm] $\left( \ \wurzel{n+1} \ \red{+} \ \wurzel{n} \ \right)$ [/mm] zu einer 3. binomischen Formel erweitert.


Gruß vom
Roadrunner

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Bezug
Grenzwert bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:46 Mi 16.11.2011
Autor: fred97


> mir wird irgendwie nicht klar wie du darauf gekommen bist
> :/

Komisch , Ha, ha, ha, ...

Du hast doch selbst den Trick "Erweitern mit $ [mm] \left( \ \wurzel{n+1} \ + \ \wurzel{n} \ \right)" [/mm] $ angewandt.

Ein sehr erstaunter FRED


Bezug
                                
Bezug
Grenzwert bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:51 Mi 16.11.2011
Autor: sarah88

ja aber wo ist denn dann mein fehler?^^

ich stehe wohl grad auf dem schlauch :S

Bezug
                                        
Bezug
Grenzwert bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:58 Mi 16.11.2011
Autor: fred97


> ja aber wo ist denn dann mein fehler?^^
>  
> ich stehe wohl grad auf dem schlauch :S

Du hattest den Ausdruck



        $ [mm] \sqrt{n}*\bruch{1}{ \sqrt{n+1} +\sqrt{n}} [/mm] $

und hast "argumentiert":

   der erste Faktor geht gegen unendlich und der zweite gegen 0

       unendlich mal null ist nicht definiert


Klammerst Du aber in Zähler und Nenner von $ [mm] \sqrt{n}*\bruch{1}{ \sqrt{n+1} +\sqrt{n}} [/mm] $ jeweils [mm] \sqrt{n} [/mm] aus, so siehst Du hoffentlich, dass die ganze Angelegenheit gegen 1/2 geht.

FRED


Bezug
                                                
Bezug
Grenzwert bestimmen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:01 Mi 16.11.2011
Autor: reverend

Hallo Fred,

> Klammerst Du aber in Zähler und Nenner von
> [mm]\sqrt{n}*\bruch{1}{ \sqrt{n+1} +\sqrt{n}}[/mm] jeweils [mm]\sqrt{n}[/mm]
> aus, so siehst Du hoffentlich, dass die ganze Angelegenheit
> gegn 1 geht.

Wenn nicht gar gegen [mm] \bruch{1}{2}. [/mm] ;-)

Grüße
rev


Bezug
                                                        
Bezug
Grenzwert bestimmen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:11 Mi 16.11.2011
Autor: fred97


> Hallo Fred,
>  
> > Klammerst Du aber in Zähler und Nenner von
> > [mm]\sqrt{n}*\bruch{1}{ \sqrt{n+1} +\sqrt{n}}[/mm] jeweils [mm]\sqrt{n}[/mm]
> > aus, so siehst Du hoffentlich, dass die ganze Angelegenheit
> > gegn 1 geht.
>  
> Wenn nicht gar gegen [mm]\bruch{1}{2}.[/mm] ;-)

Hallo rev,

da hab ich mich in der Eile vertippt.

Danke

FRED

>  
> Grüße
>  rev
>  


Bezug
                                                
Bezug
Grenzwert bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:15 Mi 16.11.2011
Autor: sarah88

jetzt wurde es mir klar...aber ich hänge schon wieder :(

hab jetzt wurzel n ausgeklammert und dann gekürzt...dann habe ich ( [mm] \sqrt{n+1} [/mm] / [mm] \sqrt{n} [/mm] )+ 1

wie komme ich dann auf den grenzwert 1?

Bezug
                                                        
Bezug
Grenzwert bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:17 Mi 16.11.2011
Autor: fred97

$ [mm] \sqrt{n+1} [/mm] $ / $ [mm] \sqrt{n} [/mm] = [mm] \wurzel{1+1/n} \to [/mm] 1$

FRED

Bezug
                                                        
Bezug
Grenzwert bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:50 Mi 16.11.2011
Autor: reverend

Hallo Sarah,

da hast Du falsch ausgeklammert.

> jetzt wurde es mir klar...aber ich hänge schon wieder :(
>  
> hab jetzt wurzel n ausgeklammert und dann gekürzt...dann
> habe ich ( [mm]\sqrt{n+1}[/mm] / [mm]\sqrt{n}[/mm] )+ 1

Wie das?

Du hattest [mm] \bruch{\wurzel{n}}{\wurzel{n+1}+\wurzel{n}} [/mm]

Dann geht das so:

[mm] \bruch{\wurzel{n}}{\wurzel{n+1}+\wurzel{n}}=\bruch{\wurzel{n*1}}{\wurzel{n\left(1+\bruch{1}{n}\right)}+\wurzel{n*1}}=\bruch{\wurzel{n}}{\wurzel{n}}*\bruch{1}{\wurzel{1+\bruch{1}{n}}+1}=\cdots [/mm]

Jetzt sollte der Grenzübergang ja nicht schwer sein.

Grüße
reverend


Bezug
                                                                
Bezug
Grenzwert bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:00 Mi 16.11.2011
Autor: sarah88

die [mm] \sqrt{n} [/mm] / [mm] \sqrt{n} [/mm] verschwindet ja und das [mm] \sqrt{1+ 1/n} [/mm] wird ja zur 1.  dann kommt ja insgesamt 1/2 heraus...stimmt das jetzt :)

Bezug
                                                                        
Bezug
Grenzwert bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:09 Mi 16.11.2011
Autor: kamaleonti


> die [mm]\sqrt{n}[/mm] / [mm]\sqrt{n}[/mm] verschwindet ja

Nein, dieser Ausdruck ist identisch mit 1.

> und das [mm]\sqrt{1+ 1/n}[/mm] wird ja zur 1.  dann kommt ja insgesamt 1/2 heraus...stimmt das jetzt :)

Ja [daumenhoch]!

LG

Bezug
                                                                                
Bezug
Grenzwert bestimmen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:16 Mi 16.11.2011
Autor: sarah88

danke für die hilfe :)

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