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| Aufgabe | Bestimmen Sie für die nachstehenden Folgen jeweils den Grenzwert $a$ und beweisen Sie ihre Behauptung, indem Sie zu gegebenen [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ ein [mm] $N\in\IN$ [/mm] mit [mm] $|a_n [/mm] - a| < [mm] \varepsilon$ [/mm] für alle $n > N$ finden.
(a) [mm] $a_n [/mm] = [mm] \frac1{n-7}$
[/mm]
(b) [mm] $a_n [/mm] = [mm] \frac1{\wurzel{n}}$
[/mm]
(c) [mm] $a_n [/mm] = [mm] \frac{1+n}{2+3n}$
[/mm]
(d) [mm] $a_n [/mm] = [mm] \frac1{n^5+42n+17}$
[/mm]
(e) [mm] $a_n [/mm] = [mm] \frac{n-17}{n^3+n^2+1}$
[/mm]
(f) [mm] $a_n [/mm] = [mm] \frac{n+1}{n^3-3}$ [/mm] |
Hallo, ich hab leider keine Ahnung wie ich bei den Beweisen vorgehen soll, aber so schwer dürfte es ja nicht sein. Wäre nett wenn mir jemand helfen könnte!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:55 Di 29.05.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Bestimmen Sie für die nachstehenden Folgen jeweils den
> Grenzwert a und beweisen Sie ihre Behauptung, indem Sie zu
> gegebenen [mm]\varepsilon[/mm] > 0 ein N mit [mm]|a_n[/mm] - a| < [mm]\varepsilon[/mm]
> für alle n > N finden.
>
> a)
> [mm]a_n[/mm] = 1/(n-7)
> b)
> [mm]a_n[/mm] = [mm]1/\wurzel{n}[/mm]
> c)
> [mm]a_n[/mm] = (1+n)/(2+3n)
> d)
> [mm]a_n[/mm] = [mm]1/(n^5+42n+17)[/mm]
> e)
> [mm]a_n[/mm] = [mm](n-17)/(n^3+n^2+1)[/mm]
> f)
> [mm]a_n[/mm] = [mm](n+1)/(n^3-3)[/mm]
> Hallo, ich hab leider keine Ahnung wie ich bei den
> Beweisen vorgehen soll, aber so schwer dürfte es ja nicht
> sein. Wäre nett wenn mir jemand helfen könnte!
hier kannst Du die Grenzwerte ja fast alle direkt erkennen oder erraten. Dann berechne mal [mm] $|a_n-a|$ [/mm] jeweils und versuche, das abzuschätzen. Beispiel:
Wir raten, dass [mm] $a_n:=\frac{2n+3}{n+7}$ [/mm] erfüllt [mm] $a_n \to a:=2\,.$ [/mm] Nun berechnen wir
[mm] $$|a_n-a|=\left|\frac{2n+3}{n+7}-\frac{2(n+7)}{n+7}\right|=\left|\frac{-11}{n+7}\right| \le \frac{11}{n}\,.$$
[/mm]
Damit kämst Du dann etwa hier weiter - auch, wenn das natürlich ein total simples und harmloses Beispiel ist. Aber viel schwerer ist keine der Aufgaben von oben!
Beispielsweise auch b):
Ich behaupte, dass [mm] $1/\sqrt{n} \to 0\,.$ [/mm] Denn:
Ist [mm] $\epsilon [/mm] > [mm] 0\,,$ [/mm] so folgt [mm] $|1/\sqrt{n}-0|=1/\sqrt{n}\,,$ [/mm] und daher bekommt man [mm] $|1/\sqrt{n}-0| [/mm] < [mm] \epsilon\,,$ [/mm] wenn man nur $n [mm] \ge [/mm] N$ hat und $N [mm] \in \IN$ [/mm] so ist, dass $N > [mm] 1/\epsilon^2$ [/mm] gilt.
Gruß,
Marcel
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Stimmt dann das so:
a)
[mm] a_n [/mm] = 1/(n-7), [mm] a_n \to [/mm] a = 0.
Denn sei [mm] \varepsilon [/mm] > 0 beliebig und N = [mm] 1/\varepsilon, [/mm] n>N [mm] \Rightarrow [/mm] |1/(n-7) - 0| = 1/(n-7) < [mm] 1/\varepsilon [/mm] .
c)
[mm] a_n [/mm] = (1+n)/(2+3n), [mm] a_n \to [/mm] a = 1/3.
Denn sei [mm] \varepsilon [/mm] > 0 beliebig und N = [mm] 1/10\varepsilon, [/mm] n>N [mm] \Rightarrow [/mm] |(1+n)/(2+3n) - 1/3| = 1/(6+9n) < [mm] 1/10\varepsilon [/mm] .
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:59 Mi 30.05.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
nur schnell dazu:
> Stimmt dann das so:
> a)
> [mm]a_n[/mm] = 1/(n-7), [mm]a_n \to[/mm] a = 0.
> Denn sei [mm]\varepsilon[/mm] > 0 beliebig und N = [mm]1/\varepsilon,[/mm]
> n>N [mm]\Rightarrow[/mm] |1/(n-7) - 0| = 1/(n-7) < [mm]1/\varepsilon[/mm] .
das ist so nicht wirklich korrekt. Zum einen würde ich direkt schonmal beispielsweise o.E. $N > [mm] 7\,$ [/mm] annehmen (dann ersparst Du Dir Sonderfälle, wenn $N < 7$ wäre - vor allem den Fall, dass Du dann für $N < [mm] 7\,$ [/mm] und $n > [mm] N\,$ [/mm] auch [mm] $n=7\,$ [/mm] haben könntest) - und Du musst Dir im Klaren sein, dass dein [mm] $N\,$ [/mm] so erstmal keine natürliche Zahl ist (was man auch nicht wirklich zwangsweise haben muss - aber es verwirrt manchmal auch stark, wenn man sich nicht strikt an die Definitionen hält und das so zeigt, wie es mal strikt definiert wurde).
Und dann musst Du Dir im klaren sein, dass für $n > [mm] N\,$ [/mm] nicht $1/(n-7) < 1/N$ gilt. Mach's doch mal etwa so:
O.E. sei $N > [mm] 7\,.$ [/mm] Wie bekommt man zu gegebenem [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ dann $|1/(N-7)|=1/(N-7) < [mm] \epsilon$? [/mm] Was folgt dann für alle natürlichen $n > N$? Erstmal sicher sofort $n-7 > [mm] N-7\,$ [/mm] und damit dann...
(Nebenbei: Wenn man [mm] $N\,$ [/mm] wirklich als natürliche Zahl haben wollte, kann man etwa die Gaußklammer ins Spiel bringen!)
Damit Du Dir dann nachher beim Aufschreiben nicht ständig merken musst, dass Du "o.E. $N > 7$ (oder $N [mm] \ge [/mm] 8$)" vorausgesetzt hattest, schreibst Du dann [mm] $N:=\max\{8,\;\text{irgendwas}(\epsilon)\}$...
[/mm]
Probierst Du das nochmal? Wenn's Dir zu kompliziert/unübersichtlich erscheint, machst Du meinetwegen auch erstmal eine Substitution $m=m(n):=n-7$...
Gruß,
Marcel
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und jetzt:
a)
[mm] a_n [/mm] = 1/(n-7), [mm] a_n \to [/mm] a = 0.
Denn sei [mm] \varepsilon [/mm] > 0 beliebig und N = [mm] (1/\varepsilon)+7, [/mm] n>N [mm] \Rightarrow [/mm] |1/(n-7) - 0| = 1/(n-7) < [mm] (1/\varepsilon)+7. [/mm]
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Hallo King,
> und jetzt:
> a)
> [mm]a_n[/mm] = 1/(n-7), [mm]a_n \to[/mm] a = 0. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Denn sei [mm]\varepsilon[/mm] > 0 beliebig und N =
> [mm](1/\varepsilon)+7,[/mm]
[mm]N[/mm] muss doch eine nat. Zahl sein ...
> n>N [mm]\Rightarrow[/mm] |1/(n-7) - 0| = 1/(n-7)
> < [mm](1/\varepsilon)+7.[/mm]
Die Vorgehensweise ist (fast) immer, in einer Nebenrechnung auf einem Schmierzettel, [mm]|a_n-GW|[/mm] abzuschätzen und daraus das [mm]N[/mm] zu konstruieren.
Wie das dann letztlich nacher zustande kam, interessiert nachher niemanden.
Beachte: Für [mm]n>14[/mm] ist [mm]n-7>n-\frac{n}{2}=\frac{n}{2}[/mm], also [mm]\frac{1}{n-7}<\frac{2}{n}[/mm]
Also (für n>14) [mm]\left|\frac{1}{n-7}-0\right|=\frac{1}{n-7}[/mm] (n>7)
[mm]\le \frac{2}{n}\overset{!}<\varepsilon[/mm]
Dh. [mm]n>\frac{2}{\varepsilon}[/mm]
Das ist die NR.
Nun schön aufgeschrieben:
Sei [mm]\varepsilon>0[/mm], wähle [mm]N:=\left[\frac{2}{\varepsilon}\right]+1[/mm]
Dann gilt für alle [mm]n\ge N[/mm]:
[mm]|a_n-0|=\left|\frac{1}{n-7}\right|=\frac{1}{n-7}\le \frac{2}{n}\le\frac{2}{N}=\frac{2}{\left[\frac{2}{\varepsilon}\right]+1}\le \frac{2}{\frac{2}{\varepsilon}}=\varepsilon[/mm]
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:56 Do 31.05.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Schachuzipus,
> Hallo King,
>
>
> > und jetzt:
> > a)
> > [mm]a_n[/mm] = 1/(n-7), [mm]a_n \to[/mm] a = 0.
> > Denn sei [mm]\varepsilon[/mm] > 0 beliebig und N =
> > [mm](1/\varepsilon)+7,[/mm]
>
> [mm]N[/mm] muss doch eine nat. Zahl sein ...
es sollte (wenn man sich streng an die "normale" Definition hält). Müssen tut's nicht:
Eine reellwertige Folge [mm] $(a_n)$ [/mm] konvergiert auch etwa genau dann gegen $a [mm] \in \IR\,,$ [/mm] wenn es zu jedem [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ ein $R > [mm] 0\,$ [/mm] so gibt, dass [mm] $|a_n-a| [/mm] < [mm] \epsilon$ [/mm] für alle natürlichen $n > R$ gilt.
Dass ich Dir das nicht wirklich erklären muss, ist mir klar, nur:
Ich hatte schon versucht, King auf sowas hinzuweisen - ob er sich das nun genau überlegt hatte oder nicht, das weiß ich nicht. Aber es kann sein, dass er es mir auch einfach geglaubt und übernommen hat.
Aber ich hatte ihn auch drauf hingewiesen, dass er, wenn er "strikt nach Definition" arbeiten will/soll, vielleicht einfach mal die Gaußklammer ins Spiel bringen kann.
Gruß,
Marcel
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Hallo Marcel,
hatte deine Antwort nicht gelesen, nur die Aufgabenstellung im Ausgangspost, wonach ein [mm] $N\in\IN$ [/mm] anzugeben ist ...
Ich denke, dass es gerade zu Beginn des Studiums auch nicht schlecht ist, möglichst genau zu arbeiten, die "Kleinigkeiten" kann man nachher immer noch "schludern" 
Liebe Grüße
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:26 Sa 02.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Schachuzipus,
> Hallo Marcel,
>
> hatte deine Antwort nicht gelesen, nur die Aufgabenstellung
> im Ausgangspost, wonach ein [mm]N\in\IN[/mm] anzugeben ist ...
ich hatte die Aufgabenstellung so sporadisch gelesen, dass mir gar nicht
aufgefallen war, dass da $N [mm] \in \IN$ [/mm] anzugeben war - ich dachte, dass
das per Definitionem verlangt sei.
> Ich denke, dass es gerade zu Beginn des Studiums auch nicht
> schlecht ist, möglichst genau zu arbeiten, die
> "Kleinigkeiten" kann man nachher immer noch "schludern"
>
Genau - vor allem, weil man dann auch weiß oder ein besseres Gespühr
dafür hat, wann und wo man schludern darf ^^
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:42 Do 31.05.2012 | | Autor: | Anazeug |
> Stimmt dann das so:
> a)
> [mm]a_n[/mm] = 1/(n-7), [mm]a_n \to[/mm] a = 0.
> Denn sei [mm]\varepsilon[/mm] > 0 beliebig und N = [mm]1/\varepsilon,[/mm]
> n>N [mm]\Rightarrow[/mm] |1/(n-7) - 0| = 1/(n-7) < [mm]1/\varepsilon[/mm] .
a haste ja schon gesagt, konvergiert gegen 0, da du ein [mm] n_{0} [/mm] > [mm] \bruch{1}{\varepsilon} [/mm] + 7 hast.
> c)
> [mm]a_n[/mm] = (1+n)/(2+3n), [mm]a_n \to[/mm] a = 1/3.
> Denn sei [mm]\varepsilon[/mm] > 0 beliebig und N = [mm]1/10\varepsilon,[/mm]
> n>N [mm]\Rightarrow[/mm] |(1+n)/(2+3n) - 1/3| = 1/(6+9n) <
> [mm]1/10\varepsilon[/mm] .
[mm] \bruch{1}{3} [/mm] als Grenzwert ist schonmal richtig, da: [mm] \bruch{1+n}{2+3n} [/mm] = [mm] \bruch{n(\bruch{1}{n} + 1)}{n(\bruch{2}{n} + 3)}, [/mm] n kürzt sich raus und [mm] \bruch{1}{n} [/mm] und [mm] \bruch{2}{n} [/mm] konvergieren gegen 0.
wenn du das nun einsetzt hast du [mm] |\bruch{1+n}{2+3n} [/mm] - [mm] \bruch{1}{3}| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm]
Stell nun nach n um und finde dein bestimmtes [mm] \varepsilon, [/mm] dann bist du fertig.
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