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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:45 Do 30.05.2013 | | Autor: | poeddl |
| Aufgabe | a) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{ln(2n)}{ln(3n)}
[/mm]
b) [mm] \limes_{x\rightarrow0}(1-x)^{\bruch{1}{x}} [/mm] |
Hallo,
ich habe schon wieder die nächste Frage...
Die Standardgrenzwerte von Polynomen kriege ich ja hin, aber bei den beiden oben komme ich echt nicht weiter und finde auch absolut keinen Ansatz.
Bei Aufgabe a) gehen ja Zähler und Nenner gegen [mm] +\infty [/mm] , komme ich hier mit l'Hospital weiter?
Bei b) habe ich gar keinen Ansatz... [mm] (1-0)^{\bruch{1}{0}}=0 [/mm] stimmt jedenfalls nicht.
Wo ist mein Denkfehler? Wie sieht hier der richtige Ansatz aus.
Ich hoffe mir kann (wieder mal) jemand helfen...
Vielen Dank
poeddl
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Hallo poeddl,
> a) [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{ln(2n)}{ln(3n)}[/mm]
>
> b) [mm]\limes_{x\rightarrow0}(1-x)^{\bruch{1}{x}}[/mm]
> Hallo,
> ich habe schon wieder die nächste Frage...
>
> Die Standardgrenzwerte von Polynomen kriege ich ja hin,
> aber bei den beiden oben komme ich echt nicht weiter und
> finde auch absolut keinen Ansatz.
>
> Bei Aufgabe a) gehen ja Zähler und Nenner gegen [mm]+\infty[/mm] ,
> komme ich hier mit l'Hospital weiter?
L'Hospital brauchst Du hier nicht,
da Du Zähler und Nenner gemäß den Logarithmusgesetzen
umschreiben kannst, und dann eine Nullfolge erzuegen kannst.
> Bei b) habe ich gar keinen Ansatz...
> [mm](1-0)^{\bruch{1}{0}}=0[/mm] stimmt jedenfalls nicht.
>
> Wo ist mein Denkfehler? Wie sieht hier der richtige Ansatz
> aus.
Schreibe den Ausdruck so um:
[mm]\left(1-x\right)^{\bruch{1}{x}}=e^{\bruch{1}{x}*\ln\left(1-x\right)}[/mm]
Dann kannst Du für den Exponenten L'Hospital benutzen.
> Ich hoffe mir kann (wieder mal) jemand helfen...
> Vielen Dank
> poeddl
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:25 Fr 31.05.2013 | | Autor: | poeddl |
Hallo und vielen Dank für deine Antwort!
> Hallo poeddl,
> L'Hospital brauchst Du hier nicht,
> da Du Zähler und Nenner gemäß den Logarithmusgesetzen
> umschreiben kannst, und dann eine Nullfolge erzuegen
> kannst.
Ich denke, du meinst hier ln(a*b)=ln(a)+ln(b) woraus für die Aufgabe folgt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{ln(2)+ln(n)}{ln(3)+ln(n)}
[/mm]
Wie geht es hier nun aber weiter? Ich weiss nicht genau, was ich hier ausklammern muss. Muss ich das überhaupt machen? Oder funktioniert das hier so, dass man ln(2) und ln(3) vernachlässigt (enthalten kein n) und [mm] \bruch{ln(n)}{ln(n)}=1?
[/mm]
Ich würde mich freuen, wenn du (oder jemand anderes) mir da noch weiterhelfen könnte...
> Schreibe den Ausdruck so um:
>
> [mm]\left(1-x\right)^{\bruch{1}{x}}=e^{\bruch{1}{x}*\ln\left(1-x\right)}[/mm]
>
> Dann kannst Du für den Exponenten L'Hospital benutzen.
Macht man das IMMER, wenn man einen Grenzwert der Fom [mm] a^{b} [/mm] bestimmen soll? Oder wie kommst du darauf, dass man das machen muss, bzw. woran sehe ich, dass ich das machen muss?
Die Rechnung sieht doch dann so aus oder?
[mm]\left(1-x\right)^{\bruch{1}{x}}=e^{\bruch{1}{x}*\ln\left(1-x\right)}[/mm] = [mm] e^{\limes_{x\rightarrow\\0}ln(1-x)*\bruch{1}{x}}=e^{\limes_{x\rightarrow\\0}\bruch{1}{x-1}}=e^{-1}
[/mm]
Ich bin mir irgendwie nicht sicher, wie genau ich mit dem ln im Exponenten umgehen muss... Ist das so richtig oder habe ich einen Fehler gemacht? Habe den ln ja jetzt irgendwie nicht wirklich beachtet...
> Gruss
> MathePower
Viele Grüße und besten Dank bis hierhin,
poeddl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:37 Fr 31.05.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo poeddl!
> Ich denke, du meinst hier ln(a*b)=ln(a)+ln(b) woraus für
> die Aufgabe folgt:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{ln(2)+ln(n)}{ln(3)+ln(n)}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Wie geht es hier nun aber weiter? Ich weiss nicht genau,
> was ich hier ausklammern muss. Muss ich das überhaupt
> machen? Oder funktioniert das hier so, dass man ln(2) und
> ln(3) vernachlässigt (enthalten kein n) und [mm]\bruch{ln(n)}{ln(n)}=1?[/mm]
Am Ende läuft es daraus hinaus ja.
Aber sauber aufgeschrieben, solltest Du in Zähler und Nenner [mm] $\ln(n)$ [/mm] ausklammern.
Gruß
Loddar
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Hiho,
> Macht man das IMMER, wenn man einen Grenzwert der Fom [mm]a^{b}[/mm] bestimmen soll? Oder wie kommst du darauf, dass man das machen muss, bzw. woran sehe ich, dass ich das machen muss?
Die Frage ist doch eher: Wie ist [mm] a^b [/mm] denn definiert? Und ja, solange man das nicht trivial "sieht", macht man das immer so (aufgrund ersterer Frage).
> Die Rechnung sieht doch dann so aus oder?
>
> [mm]\left(1-x\right)^{\bruch{1}{x}}=e^{\bruch{1}{x}*\ln\left(1-x\right)}[/mm]
> =
> [mm]e^{\limes_{x\rightarrow\\0}ln(1-x)*\bruch{1}{x}}=e^{\limes_{x\rightarrow\\0}\bruch{1}{x-1}}=e^{-1}[/mm]
Wenn du jetzt in jedem Schritt noch begründest, warum du das so umformst und warum man das machen darf, passt das so.
Gruß,
Gono.
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