Grenzwert der Funktion < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:54 Di 02.11.2004 | | Autor: | Tommylee |
Hallo , heuto abend ist Klausur und ich bräuchte noch mal Bestätigung bzw. Korrektur.
Beispielaufgabe :
Gegeben ist die Funktion f(x) = [mm] x^2 [/mm] - 2x + 5
Ermitteln sie den Grenzwert der Funktion an der Stelle 2
1) Ich kann eine Folge xn einsetzen mit der Bedingung dass
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] = 2 ist. :
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] f(xn) = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}( xn^2 [/mm] - 2 xn + 5)
Mittels Grenzwertsätze kann ich nun den Grenzwert ermitteln.
2 ) Ich kann auch mit einer Nullfolge (hn) arbeiten :
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] f(2+hn)
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty} [(2+hn)^2 [/mm] - 2*(2+hn)+5 ]
kann ich aber nicht auf 1) und 2) verzichten und es direckt so machen ? :
3)
[mm] \limes_{x\rightarrow\2} [/mm] f(x) = [mm] \limes_{h\rightarrow\0} [/mm] f(2+h) = [mm] \limes_{h\rightarrow\0} [/mm] [ ( [mm] 2+h)^2 [/mm] - 2 * (2+h)+5 ] = 5
Ist die Aufgabe so nicht ausreichend durchgeführt ?
weidere Beispielaufgabe mit Lösungsvorschlag :
gegeben ist die Funktion f(x) = [mm] \bruch{x}{x-1}
[/mm]
Ermitteln Sie [mm] \limes_{x\rightarrow\1} [/mm] f(x)
Lösungsvorschlag : [mm] \limes_{x\rightarrow\1} [/mm] f(x) = [mm] \limes_{h\rightarrow\0} [/mm] f(1+h) = [mm] \limes_{h\rightarrow\0}\bruch{1+h}{h}
[/mm]
= [mm] \limes_{h\rightarrow\0} \bruch{1}{h}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \limes_{x\rightarrow\1} [/mm] f(x) existiert nicht
Es existiert nur ein linksseitiger und ein rechtsseitiger Grenzwert :
wenn h > 0 r [mm] \limes_{x\rightarrow\1} [/mm] f(x) = + [mm] \infty
[/mm]
wenn h < 0 l [mm] \limes_{x\rightarrow\1} [/mm] f(x) = - [mm] \infty
[/mm]
Ist das alles Schritt für Schritt richtig ?
Vielen Dank
Entschuldigt die Schreibweiseevtl an manchen Stellen. Ich muß den Formeleditor noch studieren.Habe wenig Zeit.
Hat auch wieder nicht ganz geklappt :
h immer gegen 0
in Aufgabe 1 x gegen 2
in Aufgabe 2 x gegen 1
Gruß
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Hallo Thomas,
deine Methode ist prinzipiell korrekt, denn du bekommst heraus:
[mm]|\lim_{h\rightarrow0}f(2+h)-5|=\lim_{x\rightarrow0}|2h+h^2|[/mm]
Somit ist klar, dass für alle ausreichend kleine h dein Funktionswert nahe bei 5 liegt.
Allerdings ist es immer heikel, wenn man als Schüler die Sachen anders rechnet, als es der Lehrer vorgibt. (Lehrer sind machmal sehr beschränkt und engstirnig.)
Hugo
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:28 Di 02.11.2004 | | Autor: | Tommylee |
Danke,
also zu der ersten Aufgabe lieber mit xn und hn arbeiten wäre ratsamer für die Klausur.
Wie sieht es denn mit der zweiten Aufgabe aus . Ist das korrekt was ich geschrieben hab ?
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:03 Di 02.11.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Tommylee!
> weidere Beispielaufgabe mit Lösungsvorschlag :
>
> gegeben ist die Funktion f(x) = [mm]\bruch{x}{x-1}
[/mm]
>
> Ermitteln Sie [mm]\limes_{x\rightarrow 1}[/mm] f(x)
>
>
> Lösungsvorschlag : [mm]\limes_{x\rightarrow 1} f(x) =
\limes_{h\rightarrow 0} f(1+h) =
\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{1+h}{h} = \limes_{h\rightarrow 0} \red{\left(1 + \bruch{1}{h} \right)} \red{= 1 + \limes_{h \rightarrow 0} \bruch{1}{h}}[/mm].
>
[...]
>
>
> [mm]\Rightarrow \limes_{x\rightarrow 1} f(x)[/mm] existiert
> nicht
[...]
> Ist das alles Schritt für Schritt richtig ?
Nein, nicht ganz, aber das Prinzip hast du verstanden.  Ich habe dir die Verbesserungen in roter Farbe ergänzt.
Liebe Grüße
Julius
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