Grenzwert durch Integration < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:04 Sa 26.04.2008 | | Autor: | Alexis |
| Aufgabe | Zu zeigen:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n})=log2 [/mm] |
Hi Leute. Bei der oben angegebenen Aufgabe habe ich ein paar Verständnisschwierigkeiten.
Meine Idee ist es, dass ich es erstmal umgeformt habe zu:
[mm] \frac{1}{n}\summe_{i=1}^{n}\frac{1}{1+\frac{i}{n}}
[/mm]
Kann ich jetzt [mm] x=1+\frac{i}{n} [/mm] setzen, und als obere so wie untere Schranke des Integrals wäre es dann
[mm] \integral_{1}^{2}, [/mm] da 1 das Minimum von [mm] 1+\frac{i}{n} [/mm] und 2 das Maximum für i=1?
Damit hätte ich dann nämlich [mm] \integral_{1}^{2}{\frac{1}{x} dx}=log2
[/mm]
Bin mir da aber überhaupt nicht Sicher ob man da so machen kann. Könnte mir da vielleicht mal jemand nen rat geben?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:52 So 27.04.2008 | | Autor: | Alexis |
Hi.
Eine Frage zum System hier.
Hab ich durch die deklaration "Tipp" jetzt nicht um eine Antwort gebeten?
Nicht das ich mich beschwören möchte, dass noch keiner geantwortet hat :) Wollte es nur wissen ob ich beim posten somit was falsch gemacht habe.
MfG
Alexis
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Deine Idee mit dem Integral ist Klasse! Mache es dir aber ruhig etwas einfacher. Betrachte f(x)=1/x. Dass der Graph monoton fallend ist, ist trivial. Dem Bilkd entnimmst du nun durch Flächenvergleich:
[Dateianhang nicht öffentlich]
[mm]\integral_{n+1}^{2n+1}{\bruch{1}{x} dx}< \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}=[/mm]Summe der Säulenflächen mit Breite 1 im oberen Bild.
Analog:
[mm]\integral_{n}^{2n}{\bruch{1}{x} dx}> \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}=[/mm]Summe der Säulenflächen mit Breite 1 im unteren Bild.
Somit:ln(2n+1)-ln(n+1)<Summe<ln(2n)-ln(n) oder
[mm] ln(\bruch{2n+1}{n+1})
Wegen der Stetigkeit von ln geht aber auch der linke Ausdruck nach ln(2).
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:56 So 27.04.2008 | | Autor: | Alexis |
Hi, danke für deine Grafische Darstellung, so ists natürlich nochmal besser ersichtlich:)
Aber meinst du wenn ich das mit meiner Argumentation löse wäre es nicht ganz korrekt? Also ich möchte fragen ob in meiner Argumentation ein Fehler steckt, mir ist das alles noch nicht so ganz 100%ig klar was das Thema betrifft.
MfG
Alexis
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:48 So 27.04.2008 | | Autor: | abakus |
> Hi, danke für deine Grafische Darstellung, so ists
> natürlich nochmal besser ersichtlich:)
>
> Aber meinst du wenn ich das mit meiner Argumentation löse
> wäre es nicht ganz korrekt? Also ich möchte fragen ob in
> meiner Argumentation ein Fehler steckt, mir ist das alles
> noch nicht so ganz 100%ig klar was das Thema betrifft.
>
> MfG
>
> Alexis
Ich finde es genial.
Gruß Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:53 So 27.04.2008 | | Autor: | Alexis |
Hi Abakus.
Danke für die Mitteilung, dann werde ich es so lassen und wenn ichs zeitlich schaffe vielleicht noch meinen korekt formulierten Beweis mal hier reinposten^^
Vielen Dank,
Alexis
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Bei deiner Darstellung ist nicht klar, wieso du eine Vielzahl von Summanden durch ein Integral ersetzen kannst, das nur von 1 bis 2 geht. Die Argumentation würde ungefähr so verlaufen, dass die Summanden für i=0 den Wert 1 ... bis für i=n den Wert 2 haben und mit wachsendem n als viele Stützstellen aufgefasst werden können, die das Intervall für x von 1 bis 2 in sehr viele y-Werte unterteilen (also so ähnlich wie das, was ich auch aufgezeichnet habe, nur geht die Intervallbreite bei dir immer von 1 bis 2).
Das von Dir angegebene Integral kann aufgefasst werden als Fläche und diese als Summe aller Höhen (also deiner Summanden), multipliziert mit dx, dem Abstand der einzelnen Höhenlinien voneinander. Dein dx wäre dann das 1/n, aber haben die einzelnen Summanden wirklich den Abstand 1/n in diesem Intervall? Wie kannst du das nachprüfen?
Bei meiner Darstellung ist es ganz einfach so, dass ich jeden Summanden durch einen Balken darstelle, dessen Höhe der Summand und dessen Breite der Wert 1 (!) ist. Daher verkörpert der Summand gleichzeitig den Flächeninhalt des Balkens, die Summe also die Gesamtfläche aller Balken. Diese Gesamtfläche vergleiche ich mit der des Integrals.
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