Grenzwert einer Folge < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:35 Fr 20.01.2006 | | Autor: | AriR |
| Aufgabe | Berechnen sie den Grenzwert der Folge:
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{sin( e^{- \bruch{1}{x}})}{x} [/mm] (x gegen 0 von oben, als x [mm] \to [/mm] 0 und x>0) |
(Frage zuvor nicht gestellt)
hey leute hänge bei der aufgabe fest :(
ich vermute, dass man den Grenzwert mit l'Hospital rausbekommt.
Zähler und Nenner gehen beide gegen 0 und x [mm] \ne [/mm] 0.
Für die Ableitung des Zählers habe ich: [mm] -cos(e^{-\bruch{1}{x}})*e^{-\bruch{1}{x}}* \bruch{1}{x^2}
[/mm]
Für die Ableitung des Nenners: 1
Das Problem ist nun, dass [mm] -cos(e^{-\bruch{1}{x}}) [/mm] gegen -1 geht und [mm] e^{-\bruch{1}{x}} [/mm] gegen 0, aber [mm] \bruch{1}{x^2} [/mm] gegen [mm] +\infty [/mm] divergiert.
Hat jemand eine idee was ich da machen kann?
|
|
| |
|
> Berechnen sie den Grenzwert der Folge:
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{sin( e^{- \bruch{1}{x}})}{x}[/mm]
> (x gegen 0 von oben, als x [mm]\to[/mm] 0 und x>0)
> (Frage zuvor nicht gestellt)
> hey leute hänge bei der aufgabe fest :(
> ich vermute, dass man den Grenzwert mit l'Hospital
> rausbekommt.
> Zähler und Nenner gehen beide gegen 0 und x [mm]\ne[/mm] 0.
>
> Für die Ableitung des Zählers habe ich:
> [mm]-cos(e^{-\bruch{1}{x}})*e^{-\bruch{1}{x}}* \bruch{1}{x^2}[/mm]
>
> Für die Ableitung des Nenners: 1
>
>
> Das Problem ist nun, dass [mm]-cos(e^{-\bruch{1}{x}})[/mm] gegen -1
> geht und [mm]-cos(e^{-\bruch{1}{x}})[/mm] gegen 0, aber
> [mm]\bruch{1}{x^2}[/mm] gegen [mm]+\infty[/mm] divergiert.
>
> Hat jemand eine idee was ich da machen kann?
>
Hallo!
Man kann zeigen, daß [mm] $e^{-x}$ [/mm] für [mm] $x\to\infty$ [/mm] schneller gegen 0 geht als jeder polynomiale Ausdruck...
bzw.: Du kannst das doch wieder als Quotient zweier Ausdrücke schreiben, die beide für sich gegen 0 gehen...
Kommst Du damit weiter?
Gruß,
Christian
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:16 Fr 20.01.2006 | | Autor: | AriR |
ehrlich gesagt nicht :(
wenn ich da stehen habe [mm] \bruch{1}{e^{\bruch{1}{x}}*x^2} [/mm] dann habe ich da wieder sozusagen stehen [mm] "\bruch{1}{\infty * 0}" [/mm] und das ist ja wieder undefiniert :(
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:02 Sa 21.01.2006 | | Autor: | Peter_Pein |
Hallo,
und wenn Du $x [mm] \mapsto \bruch{1}{z}$ [/mm] substituierst?
Kommst Du mit [mm] $\limes_{z\rightarrow\infty} z*sin(e^{-z})$ [/mm] besser klar?
Gegebenenfalls Taylorentwicklung des Sinus verwenden!
viel Erfolg,
Peter
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:41 Sa 21.01.2006 | | Autor: | AriR |
darf ich diese verfahren verwenden, wenn wir sie in der Vorlesung noch nicht hatten? Substituieren kenne ich noch aus der schule, taylor entwicklung sagt mir leider noch gar nichts :(
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:11 So 22.01.2006 | | Autor: | AriR |
(Frage hier zuvor gestellt: http://www.matheforum.net/read?i=121265 )
Hey Leute, die Frage ist leider immer noch offen und deswegen poste ich es nochmal. Wäre echt super, wenn mir da jemand noch einen tip zu geben könnte, weil ich das morgen schon abgeben muss
Gruß Ari
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:30 Mo 23.01.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Ari
Gruss und nettes Ende freut uns immer!!
Hier ist l'Hopital und taylor alles nicht sehr gut. Wenn man weiss, dass [mm] e^{-1/x} [/mm] schneller gegen Null läuft als alle Potenzen von x, der sin aber etwa so schnell gegen 0 geht wie sein argument, sieht man dass der Zähler viel schneller gegen 0 geht als der Nenner, dass also der Grenzwert 0 ist.
das muss man also beweisen:
Beh: [mm] $\bruch{sin(e^{-1/x})}{x}<\epsilon [/mm] für [mm] x<\delta$
[/mm]
1.$ sin(a)<a für a>0. $
2. [mm] $e^{-1/x}\ge [/mm] 0$
damit:$0< [mm] \bruch{sin(e^{-1/x}}{x}<\bruch{e^{-1/x}}{x}$
[/mm]
jetzt [mm] $e^{-1/x}$ [/mm] abschätzen: dazu
[mm] $(1+\frac{x}{n})^n\le e^x$ [/mm] ==> [mm] $e^{-x}\le \frac{1}{(1+\frac{x}{n})^n}$
[/mm]
[mm] $e^{-1/x}\le\frac{1}{(1+\frac{1}{xn})^n}=\frac{n^n*x^n}{(nx+1)^n}\le4x^2$ [/mm] für n=2
damit oben weiter [mm] $\bruch{e^{-1/x}}{x}<\frac{4x^2}{x}=4x$.
[/mm]
d.h. wir haben bewiesen :
$0< [mm] \bruch{sin(e^{-1/x})}{x}<4x<\epsilon [/mm] fuer [mm] x<\delta=\epsilon/4$
[/mm]
Ein typischer Beweis mit e- fkt. drum hab ich ihn vorgemacht.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Guten Abend!
Vielleicht solltest du nochmal deine Ableitung überprüfen. Bei der des Zählers hab ich nämlich
[mm] \bruch{cos(e^{-\bruch{1}{x}})*e^{-\bruch{1}{x}}}{x^2}
[/mm]
raus bekommen.
Nützt aber leider nicht wirklich was.
In sofern möchte ich mich meinem Vorgänger anschließen, der die Aufgabe wohl besser gelöst hat.
Schönen Abend noch,
Roland.
|
|
|
|
