Grenzwert einer Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:20 So 05.11.2006 | | Autor: | max3000 |
| Aufgabe | Zeigen Sie mir der Definition des Grenzwertes (e-N-Technik):
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] = [mm] \bruch{n^{3}+5n}{3n^{3}-6} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3} [/mm] |
Hallo.
Ich weiß grad echt nicht wie ich das Problem angehen soll, weil wir in den Vorlesungen keine Beispiele dazu hatten. Ich habs erstmal so gemacht:
[mm] |\bruch{n^{3}+5n}{3n^{3}-6} [/mm] - [mm] \bruch{1}{3}|
Mit bisschen Termumformung sah das dann so aus:
[mm] |\bruch{5n+2}{3n^{3}-6}|
Jetzt hab ich einfach geschlussfolgert, dass der Nenner im unendlichen stärker anwächst als der Zähler, womit es dann immer ein e gibt, was größer ist.
Kann ich das so machen oder ist das totaler Blödsinn? Außerdem hab ich jetzt kein N im Lösungsweg untergebracht. Kann mir jemand sagen, wie ich das richtig machen muss?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Grüße
Max
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:31 So 05.11.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Max
> Mit bisschen Termumformung sah das dann so aus:
>
> [mm]|\bruch{5n+2}{3n^{3}-6}|
>
> Jetzt hab ich einfach geschlussfolgert, dass der Nenner im
> unendlichen stärker anwächst als der Zähler, womit es dann
> immer ein e gibt, was größer ist.
So läuft das falsch. Es geht nicht darum, dass es ein [mm] \varepsilon [/mm] gibt, das größer ist, sonder dass es zu JEDEM, wirklich JEDEM [mm] \varepsilon [/mm] garantiert ein N gibt, so dass ab diesem N also für alle n>N der Ausdruck kleiner als das [mm] \varepsilon [/mm] ist. Das N darf natürlich von [mm] \varepsilon [/mm] abhängen, d.h. je kleiner des [mm] \varepsilon [/mm] ist umso größer darf das passende N sein, aber immer muss man es konkret angeben können, wenn das [mm] \varepsilon [/mm] vorgegeben ist. oft recht z. Bsp [mm] N=1/\varepsilon^2 [/mm] oder [mm] N=1/10\varepsilon [/mm] oder so was.
Auch hier musst du ein solches N angeben. Probiers mal mit [mm] 1/\varepsilon [/mm] oder so ähnlich.
> Kann ich das so machen oder ist das totaler Blödsinn?
totale Blödsinn ist das nicht, aber es beinhaltet, dass man denkt, man könnte schon so ein N finden.
Wenn du den bruch [mm] \bruch{5n+2}{3n^{3}-6}=\bruch{5/n^2+2/n^3}{3-6/n^3} [/mm] umschreibst findest du auch schnell ein N (es muss nicht das kleins mögliche sein, man darf es ruhig übertrieben groß wählen,
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:00 Mo 06.11.2006 | | Autor: | max3000 |
Das versteh ich aber irgendwie nicht. Kann ich jetzt [mm] N=\bruch{1}{n^{3}} [/mm] wählen? Könnte mir da bitte jemand ein mögliches N nennen?
Ich blick hier echt nicht durch.
Gruß
Max
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:46 Mo 06.11.2006 | | Autor: | moudi |
> Das versteh ich aber irgendwie nicht. Kann ich jetzt
> [mm]N=\bruch{1}{n^{3}}[/mm] wählen? Könnte mir da bitte jemand ein
> mögliches N nennen?
Hallo max3000
Im Prinzip musst du in
"Wenn [mm] $n>\dots$, [/mm] dann ist $ [mm] |\bruch{5n+2}{3n^{3}-6}|<\varepsilon$"
[/mm]
die drei Punkte so ersetzen, dass eine korrekte Aussage entsteht.
Um ein solche Grenze N zu finden formt man den Term [mm] $\frac{5n+2}{3n^3-6}$ [/mm] um:
[mm] $\bruch{5n+2}{3n^{3}-6}=\frac{5+2/n}{3n^2-6}=\frac{5+2/n}{2n^2+n^2-6}$
[/mm]
Wenn n>2 dann ist der Zähler 5+2/n<6 und der Nenner [mm] $2n^2+n^2-6>2n^2$ [/mm] daher wird der Bruch grösser.
Daher wenn $n>2$, dann [mm] $\bruch{5n+2}{3n^{3}-6}<\frac{6}{2n^2}$.
[/mm]
Ist zusätzlich [mm] $n>\sqrt{\frac3{\varepsilon}}$, [/mm] dann ist [mm] $n^2>\frac3{\varepsilon}$, [/mm] dann [mm] $\frac1{n^2}<\frac{\varepsilon}3$ [/mm] dann [mm] $\frac{6}{2n^2}<\varepsilon$.
[/mm]
Deshalb kann man für [mm] $\ldots$ [/mm] oben [mm] $\max\{2,\sqrt{\frac3{\varepsilon}}\}$ [/mm] einsetzen.
mfG Moudi
> Ich blick hier echt nicht durch.
>
> Gruß
> Max
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