Grenzwert einer Folge < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:46 Do 02.08.2007 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | | Die Folge $n -> [mm] \bruch{n}{n+1}$ [/mm] hat den Grenzwert g=1. Beweisen Sie. |
Hallo Zusammen,
hier ist die Lösung, hierbei verstehe noch nicht so ganz warum, der Grenzwert von der Folge abgezogen wird? Ist dies dann immer so? Außerdem in der zweiten Zeile die Umformung. Um die beiden Terme voneinander abziehen zu können, benötigen diese den gleichen Nenner, somit muss man -1 * (n+1) rechnen, oder? Hierbei wäre ich auch um eine Erklärung dankbar. Und zu guter letzt, wäre 1 z.B. -1 kann man die Betragsstriche nicht weglassen, oder? Diese machen somit aus allen negativen Zahlen, positive. Vielen Dank im Voraus.
[mm] $|\bruch{n}{n+1} [/mm] - 1|$ < [mm] $\epsilon$
[/mm]
[mm] $|\bruch{n}{n+1} [/mm] - [mm] \bruch{n+1}{n+1}|$ [/mm] < [mm] $\epsilon$
[/mm]
[mm] $|\bruch{n-(n+1)}{n+1}|$ [/mm] < [mm] $\epsilon$
[/mm]
[mm] $|\bruch{1}{n+1}|$ [/mm] < [mm] $\epsilon$ [/mm] Alle Glieder sind positiv.
[mm] $\bruch{1}{n+1}$ [/mm] < [mm] $\epsilon$
[/mm]
$1 < [mm] \epsilon [/mm] * (n+1)$
[mm] $\bruch{1}{\epsilon} [/mm] < n+1$
[mm] $\bruch{1}{\epsilon} [/mm] -1 < n$
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> Die Folge [mm]n -> \bruch{n}{n+1}[/mm] hat den Grenzwert g=1.
> Beweisen Sie.
> Hallo Zusammen,
>
> hier ist die Lösung, hierbei verstehe noch nicht so ganz
> warum, der Grenzwert von der Folge abgezogen wird?
Hallo,
bei der Dir vorliegenden Berechnung wird die Definition des Grenzwertes einer Folge verwendet.
Was ist denn ein Grenzwert? Mal grob gesprochen: die Folgenglieder rücken beliebig dicht an den Grenzwert heran, was bedeutet, daß die Differenz zwischen Grenzwert und Folgengliedern beliebig klein wird.
Schau Dir nun in Deinen Unterlagen die Definition v. "Grenzwert" an.
Worum geht es da?
Man hat eine Folge [mm] (a_n) [/mm] und ein a.
Wann ist a ein Grenzwert von [mm] (a_n)? [/mm]
Wenn man zu jedem beliebigen [mm] \varepsilon [/mm] (insbes. zu jedem beliebig kleinen!) einen Index N findet, so daß an dem N+1.-ten Folgenglied alle Folgenglieder dichter als \ varepsilon an a heranrücken.
Die Dir vorliegende "Lösung" ist eher eine Vorarbeit für den Beweis der Konvergenz. (normalerweise macht man das geheim auf einem Zettelchen und schreibt es dann anders auf.)
Hier ist ein [mm] \varepsilon [/mm] vorgegeben, und man versucht nun herauszufinden, ab welchem Index die Differenz zw. Folgenglied und potentiellem Grenzwert kleiner als [mm] \varepsilon [/mm] wird. Ergebnis der Bemühungen:
Für alle [mm] n>\bruch{1}{\varepsilon}-1 [/mm] gilt das.
Aufschreiben würde man es dann normalerweise so:
Beh.: 1 ist Grenzwert der Folge (a-n) mit [mm] a_n:=\bruch{n}{n+1}
[/mm]
Bew.: Sei [mm] \varepsilon [/mm] >0. Wähle [mm] N:=\bruch{1}{\varepsilon}-1.
[/mm]
Für alle n > N gilt
[mm] |\bruch{n}{n+1} [/mm] - 1|
[mm] =|\bruch{n-(n+1)}{n+1}|
[/mm]
=...
[mm] =\bruch{1}{n+1} <\bruch{1}{N+1} =\bruch{1}{\bruch{1}{\varepsilon}-1+1}=\varepsilon.
[/mm]
Somit konvergiert [mm] (a_n) [/mm] gegen a.
> Außerdem in der zweiten Zeile die Umformung.
> Um die beiden Terme voneinander abziehen zu können,
> benötigen diese den gleichen Nenner, somit muss man -1 *
> (n+1) rechnen, oder?
Ja. Da hat man alles auf einen Nenner gebracht.
Hierbei wäre ich auch um eine
> Erklärung dankbar. Und zu guter letzt, wäre 1 z.B. -1 kann
> man die Betragsstriche nicht weglassen, oder?
Ich weiß nicht, welche 1 Du meinst. -(-1) wäre +1.
Diese machen
> somit aus allen negativen Zahlen, positive.
Genau. Wenn man aus irgendeinem Grund sicher sein kann, daß innerhalb der Betragsstriche eine pos. Zahl steht, können die Betragsstriche wegbleiben. Positive Zahlen werden durch den Betrag nicht verändert.
Bei negativen Zahlen verändert der Betrag das Vorzeichen, sie werden also positiv.
Gruß v. Angela
> [mm]|\bruch{n}{n+1} - 1|[/mm] < [mm]\epsilon[/mm]
>
> [mm]|\bruch{n}{n+1} - \bruch{n+1}{n+1}|[/mm] < [mm]\epsilon[/mm]
>
> [mm]|\bruch{n-(n+1)}{n+1}|[/mm] < [mm]\epsilon[/mm]
>
> [mm]|\bruch{1}{n+1}|[/mm] < [mm]\epsilon[/mm] Alle Glieder sind positiv.
>
> [mm]\bruch{1}{n+1}[/mm] < [mm]\epsilon[/mm]
>
> [mm]1 < \epsilon * (n+1)[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{\epsilon} < n+1[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{\epsilon} -1 < n[/mm]
>
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