Grenzwert einer Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:53 Mo 25.08.2008 | | Autor: | tedd |
| Aufgabe | Bestimmen Sie den folgenden Grenzwert:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}n^{0,8} [/mm] |
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}n^{0,8}
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}\sqrt[5]{n^4}
[/mm]
kann ich jetzt aufgrund der Rechenregeln für Grenzwerte das hier machen?
[mm] \sqrt[5]{\limes_{n\rightarrow\infty}n^4}
[/mm]
[mm] =\sqrt[5]{\infty}
[/mm]
[mm] =\infty \to [/mm] uneigentlich Konvergent.
Danke und besten Gruß,
tedd
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:15 Mo 25.08.2008 | | Autor: | Merle23 |
Nein, das darfst du nicht machen, denn dann steht nämlich das da, was du auch hingeschrieben hast, nämlich [mm] \sqrt[5]{\infty}, [/mm] und das ist ein nicht definierter Ausdruck.
Um zu beweisen, dass [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \sqrt[5]{n^4} = \infty[/mm] ist, musst du zeigen, dass es zu jedem [mm]K \in \IR[/mm] ein [mm]N_K \in \IN[/mm] gibt, so dass gilt: [mm]\forall n > N_K : \sqrt[5]{n^4} > K[/mm].
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:32 Mo 25.08.2008 | | Autor: | tedd |
Ok...
Sorry irgendwie hilft mir das nicht wirklich weiter.
Irgendeinen Tip noch wie ich dabei vorgehe? 
Danke und besten Gruß,
tedd
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Hallo tedd,
du willst ja zeigen, dass du beliebig großem [mm] $K\in\IR$ [/mm] ein [mm] $N_K\in\IN$ [/mm] finden kannst, so dass alle weiteren Folgenglieder - also die für [mm] $n>N_K$ [/mm] - doch größer sind als dieses $K$
Gib dir also ein beliebig großes [mm] $K\in\IR^{+}$ [/mm] vor.
Dann musst du ein solches [mm] $N_K$ [/mm] mit den Eigenschaften wie oben beschrieben konstruieren.
Schätze dazu mal die Ungleichung [mm] $\sqrt[5]{n^4}=n^{\frac{4}{5}} [/mm] \ > \ K$ ab.
Beide Seiten [mm] $(...)^{\frac{5}{4}}$ [/mm] liefert
$n \ > \ [mm] K^{\frac{5}{4}}$
[/mm]
Kannst du nun hieraus dein [mm] $N_K$ [/mm] konstruieren/angeben?
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:21 Mo 25.08.2008 | | Autor: | tedd |
Sorry,
ich habe es immernoch nicht wirklich verstanden:
Also das $ [mm] K\in\IR [/mm] $ ist eine belibig große "Schranke"?
Und zu dem gibt es ein passendes Folgeglied $ [mm] N_K\in\IN [/mm] $ .
Jetzt ist meine Aufgabe zu beweisen, dass alle darauf folgenden Folgeglieder größer sind als dieses $ [mm] K\in\IR [/mm] $.
Also beispielsweise
[mm] 100^{\bruch{4}{5}}=39,81
[/mm]
Dann wäre mein [mm] N_K=100 [/mm] und mein K=39,81 ?
Wenn ich jetzt
$ n \ > \ [mm] K^{\frac{5}{4}} [/mm] $
habe dann wäre
$ 101 \ > \ [mm] 39,81^{\frac{5}{4}} [/mm] $
$ 101 \ > \ 100 $
?
Ich bin etwas verwirrt, wofür die Variablen stehen.
Sorry für den Aufwand :(
Gruß,
tedd
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:27 Mo 25.08.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
ja, so läuft das ab.
Du gibst dir eine Schranke K vor. Meinetwegen 100. Und dann guckst du, ob du ein n findest, für das [mm] $n^{4/5}$ [/mm] größer als 100 wird.
Jetzt sagst du also:
[mm] $n^{4/5}=100 \gdw n=100^{5/4}$
[/mm]
Wenn du jetzt K einfach beliebig wählst, und das genau so durchrechnest, siehst du, dass du für jedes beliebige [mm] $K\in \IR$ [/mm] ein n findest, so dass [mm] $n^{4/5}>K$ [/mm] gilt. Und was folgern wir daraus?
LG
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:34 Mo 25.08.2008 | | Autor: | tedd |
Okay daraus folger ich, dass die Folge uneigentlich Konvergent ist.
Aber garantiert mir das, dass die Fogle nicht evtl doch ab einem "Superhohen" Wert einen Grenzwert besitzt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:37 Mo 25.08.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
du nimmst einfach eine allgemeine Schranke K. Und jetzt findest du heraus, dass immer ein n existiert, für den der Wert der Folge größer ist als deine Schranke K. Weil diese Aussage jetzt für alle K gilt, also insbesondere auch für alle "unendlich großen" Zahlen, bleibt deiner Folge ja nichts anderes übrig, als auch gegen unendlich zu gehenen.
Wenn du jetzt so etwas hättest wie: Gut, ich finde nur bis K=100 ein n, so dass die Folgenwerte größer als 100 werden, für 101 finde ich so ein n aber nicht mehr, dann kann die Folge ja nicht mehr nach unendlich abhauen.
Aber das Wichtige an dieser Idee ist eben, dass man für alle K, egal wie groß dieses ist, immer ein n findet, so dass der Folgenwert größer wird als das K.
LG
Kroni
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:45 Mo 25.08.2008 | | Autor: | tedd |
Okay! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Darüber werde ich aufjedenfall noch etwas nachdenen müssen aber ihr habt mir aufjedenfall sehr weitergeholfen.
Danke für die Antworten!
Gruß,
tedd
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