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Grenzwert einer Folge: Ansatzproblem
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:41 Di 21.04.2009
Autor: michaelzzzzz

Hallo,

ich habe folgende Aufgabe.

y ist eine positive reelle Zahl. Folge [mm] a_{n} [/mm] ist folgendermaßen def.:


[mm] a_{n} [/mm] = [mm] \wurzel{n}*(\wurzel{y*n}+1)/n+1 [/mm]

Ich soll den Grenzwert a von [mm] a_{n} [/mm] bestimmen.

Formal ist mir auch klar, was ich machen soll:

[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n} [/mm] = a

Aber wie ist die Vorgehensweise genau?

Dankeschön.



        
Bezug
Grenzwert einer Folge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:49 Di 21.04.2009
Autor: fred97


> Hallo,
>  
> ich habe folgende Aufgabe.
>  
> y ist eine positive reelle Zahl. Folge [mm]a_{n}[/mm] ist
> folgendermaßen def.:
>  
>
> [mm]a_{n}[/mm] = [mm]\wurzel{n}*(\wurzel{y*n}+1)/n+1[/mm]
>  
> Ich soll den Grenzwert a von [mm]a_{n}[/mm] bestimmen.
>  
> Formal ist mir auch klar, was ich machen soll:
>  
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}[/mm] = a
>  
> Aber wie ist die Vorgehensweise genau?
>  
> Dankeschön.
>  
>  



Ich nehme an , die Folge heißt so:

                


$ [mm] a_{n} [/mm] $ = $ [mm] \wurzel{n}\cdot{}(\wurzel{y\cdot{}n}+1)/(n+1) [/mm] $


Überlege Dir, dass

              [mm] $a_n [/mm] = [mm] \bruch{n\wurzel{y}+\wurzel{n}}{n+1}$ [/mm]

Jetzt im Zähler und im Nenner n ausklammern

FRED

ist.

Bezug
                
Bezug
Grenzwert einer Folge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:30 Di 21.04.2009
Autor: michaelzzzzz

[mm] \bruch{n*\wurzel{y}+n^{1/2}}{n*(1 + 1/n)} [/mm] =


[mm] \bruch{\wurzel{y}+n^{1/2}}{(1 + 1/n)} [/mm] =


[mm] \bruch{\wurzel{y}}{(1 + \wurzel{n})} [/mm]



Bezug
                        
Bezug
Grenzwert einer Folge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:35 Di 21.04.2009
Autor: fred97


> [mm]\bruch{n*\wurzel{y}+n^{1/2}}{n*(1 + 1/n)}[/mm] =
>  
>
> [mm]\bruch{\wurzel{y}+n^{1/2}}{(1 + 1/n)}[/mm] =
>  
>
> [mm]\bruch{\wurzel{y}}{(1 + \wurzel{n})}[/mm]
>  
>  

Das stimmt hinten und vorne nicht !



$ [mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{n\wurzel{y}+\wurzel{n}}{n+1} [/mm] $ = [mm] $\bruch{n(\wurzel{y}+1/\wurzel{n})}{n(1+1/n)} [/mm] = [mm] \bruch{\wurzel{y}+1/\wurzel{n}}{1+1/n}$ [/mm]

Wogegen strebt das, wenn n [mm] \to \infty [/mm] ?

FRED

Bezug
                                
Bezug
Grenzwert einer Folge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:28 Di 21.04.2009
Autor: michaelzzzzz

also, wenn ich das mal rein logisch sehe


[mm] \bruch{\wurzel{y}+ eine sehr kleine Zahl}{1+ eine sehr kleine Zahl} [/mm]

wenn man die beiden kleinen Zahlen vernachlässigt, weil 1,000001 ja auch ungefähr 1 und [mm] \wurzel{y}+1 [/mm] auch ungefähr [mm] \wurzel{y} [/mm] ist:

der Grenzwert [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] = [mm] \wurzel{y} [/mm]

Bezug
                                        
Bezug
Grenzwert einer Folge: richtig
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:30 Di 21.04.2009
Autor: Loddar

Hallo Michael!


[ok] Richtig erkannt ...


Gruß
Loddar


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