Grenzwert einer Funktion < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | zeigen Sie, dass der Grenzwert einer Funktion f: [mm] D\to \IC [/mm] für z [mm] \to [/mm] Xi eindeutig ist, d.h, dass aus
f(z) [mm] \to \alpha [/mm] (z [mm] \to [/mm] Xi)
f(z) [mm] \to \beta [/mm] (z [mm] \to [/mm] Xi) |
Hallo!
Da ich mit dem Thema Stetigkeit noch sehr große Probleme habe und damit nciht umgehen kann wäre es echt klasse, wenn mir jemand bei dieser Aufgabe weiterhelfen würde.
Viele Grüße, Sportsprinter
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:22 Do 19.01.2006 | | Autor: | Julius |
Hallo Sportsprinter!
Wäre [mm] $\alpha \ne \beta$, [/mm] dann wäre
[mm] $\varepsilon:= \frac{|\alpha - \beta|}{2}>0$.
[/mm]
Nach Voraussetzung gibt es [mm] $\delta_1,\delta_2$ [/mm] mit
[mm] $|\alpha [/mm] - f(z)| [mm] <\varepsilon$ [/mm] für alle [mm] $|z-\xi| [/mm] < [mm] \delta_1$
[/mm]
und
[mm] $|\beta [/mm] - f(z)| [mm] <\varepsilon$ [/mm] für alle [mm] $|z-\xi| [/mm] < [mm] \delta_2$.
[/mm]
Dann aber gilt für alle $z [mm] \in \IC$ [/mm] mit [mm] $|z-\xi| [/mm] < [mm] \delta:=\min(\delta_1,\delta_2)$ [/mm] mit Hilfe der Dreiecksungleichung und nach Wahl von [mm] $\varepsilon$:
[/mm]
[mm] $|\alpha [/mm] - [mm] \beta| \le |\alpha [/mm] - f(z)| + |f(z) - [mm] \beta| [/mm] < 2 [mm] \varepsilon [/mm] = [mm] |\alpha [/mm] - [mm] \beta$,
[/mm]
was offenbar einen Widerspruch darstellt.
Daher muss doch [mm] $\alpha=\beta$ [/mm] gelten.
Liebe Grüße
Julius
|
|
|
|
