Grenzwert einer Funktion < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:52 Fr 21.12.2007 | | Autor: | laihla |
Hallo zusammen!
Kann mir jemand erklären, was damit gemeint ist:
Die Funktion f hat an der Stelle Xo genau dann den Grenzwert G, wenn gilt:
Zu jedem epsilon >O existiert ein delta>0, so dass für alle X mit Xe D (Definitionsbereich), X nicht gleich Xo und IX-XoI< delta stets
If(X) - GI < epsilon ist.
Ist mit epsilon die Umgebung um den Grenzwert gemeint?
Was ist dann delta?
Wie kann ich mir anschaulich erklären, was If(X) -GI< epsilon ist?
Wäre so nett, wenn mir jemand weiterhelfen könnte.
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.anderesmatheforum.de
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:46 Fr 21.12.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
mit dem Epsilon ist gemeint, dass der Abstand von deinerm f(x) und deinem Grenzwert G ziemlich klein wird, also nahezu gleich ist, und zwar genau dann, wenn dein x-Wert einen sehr Kleinen Abstand zu deinem [mm] x_0 [/mm] hat.
Das [mm] $|f(x)-G|<\epsilon$ [/mm] meint, dass der Abstand zwischen dem Funktionswert und deinem Grenzwert für jedes [mm] \epsilon, [/mm] sei es noch so klein, sehr klein wird. Das [mm] $|x-x_0|<\delta$ [/mm] ist dann die Bedingung, dass du zu jedem beliebigen [mm] \epsilon>0 [/mm] ein [mm] \delta [/mm] findest, so dass die Ungleichung erfüllt ist. D.h. letztendlich, dass dein x sehr sehr nahe an [mm] x_0 [/mm] liegen soll, und dann der Abstand zwischen dem Funktionswert f(x) und G sehr klein wird.
Das bedeutet so gesehen nichts anders als: Wenn du deiner Stelle [mm] x_0 [/mm] beliebig nahe kommst, dann muss auch der Funktionswert deiner Funktion an der Stelle x belibeig nahe dem Funktionswert von [mm] f(x_0) [/mm] kommen muss.
LG
Kroni
PS.: Versuche doch nächste mal, den Formeleditor zu verwenden.
Hier ein Link dazu, wo der FOrmeleditor erklärt ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:16 Fr 21.12.2007 | | Autor: | Marcel |
> Hi und ,
>
> mit dem Epsilon ist gemeint, dass der Abstand von deinerm
> f(x) und deinem Grenzwert G ziemlich klein wird, also
> nahezu gleich ist, und zwar genau dann, wenn dein x-Wert
> einen sehr Kleinen Abstand zu deinem [mm]x_0[/mm] hat.
Hi,
bitte passe hier mit der Formulierung des "genau dann" auf. Ich meine, wenn Du die Funktion $f(x):=0$ für alle $x [mm] \in \IR$ [/mm] betrachtest, dann kann ich das [mm] $\delta$ [/mm] auch beliebig groß wählen, also ich meine, hier ist
[mm] $f(10)=f(10^{100})$, [/mm] der Abstand der Funktionswerte ist 0, aber die Zahlen $10$ und [mm] $10^{100}$ [/mm] haben keinen kleinen Abstand (okay, alles ist relativ, aber ich denke Du verstehst, wie ich das meine; zumal ich ja $f(x)=f(y)$ für alle $x,y [mm] \in \IR$ [/mm] hier habe und damit den Abstand $|x-y|$ beliebig groß wählen kann).
Und genauso kannst Du $f(x)=sin(x)$ betrachten. Dort gilt $f(0)=0$ und [mm] $f(k*2\pi)=0$ [/mm] für jedes $k [mm] \in \IZ$.
[/mm]
Also bitte nicht "genau dann". Es gilt, falls $f$ in [mm] $x_0$ [/mm] den Grenzwert $G$ hat, nur die Folgerung (im Falle, dass [mm] $x_0$ [/mm] ein HP von [mm] $D_f$):
[/mm]
"x nahe an [mm] $x_0$, [/mm] x [mm] \not=x_0" $\Rightarrow$ [/mm] "f(x) nahe an G"
Aber die Folgerung
"$f(x)$ nahe an G" [mm] $\Rightarrow$ [/mm] "$x$ nahe an [mm] $x_0$"
[/mm]
ist falsch.
Es kann durchaus sein, dass Du etwas anderes gemeint hast und es einfach unglücklich bzw. missverständlich formuliert hast. Ich will nur auf die oben angesprochenen Dinge hinweisen.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:20 Sa 22.12.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
ja, das war alles von mir etwas lapidar formuliert, um einfach mal grob den Überblick zu geben, was wie gelten muss. Lag daran, weil ich die genaue Reihenfolge nicht mehr im Kopf hatte. Aber stimtm schon, sicher kommt es aufs "gdw" und "dann, wenn" und die Reihenfolge der Bedingungen an.
LG
Kroni
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> Die Funktion f hat an der Stelle Xo genau dann den
> Grenzwert G, wenn gilt:
> Zu jedem epsilon >O existiert ein delta>0, so dass für
> alle X mit Xe D (Definitionsbereich), X nicht gleich Xo und
> IX-XoI< delta stets
> If(X) - GI < epsilon ist.
Hallo,
.
Ergänzend zu Kroni:
> Ist mit epsilon die Umgebung um den Grenzwert gemeint?
Man könnte das Ganze auch mit Umgebungen ausdrücken:
Die Funktion f hat an der Stelle [mm] x_0 [/mm] den Grenzwert G, wenn gilt:
Zu jeder beliebigen [mm] \varepsilon [/mm] - Umgebung von G findet man ein [mm] \delta, [/mm] so daß alle Elemente, die in der [mm] \delta [/mm] -Umgebung von [mm] x_0 [/mm] liegen, durch f in die [mm] \varepsilon [/mm] -Umgebung von G abgebildet werden.
Egal, wie klein man die Umgebung um G wählt, man findet immer eine passende um [mm] x_0, [/mm] die in die Umgebung v. G abgebildet wird.
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:06 Fr 21.12.2007 | | Autor: | Marcel |
Hallo Laihla,
diese Definition ist äquivalent zu einer anderen Aussage, die meiner Ansicht nach analytisch schöner und von der Vorstellung einfacher zu verstehen ist:
$f$ hat in der Stelle [mm] $x_0$ [/mm] genau dann den Grenzwert $G$, wenn gilt:
Für jede Folge [mm] $(x_n)_{n \in \IN}$, [/mm] mit [mm] $x_n \in D_f$ [/mm] und [mm] $x_n \not=x_0$ [/mm] für alle $n [mm] \in \IN$, [/mm] die [mm] $x_n \to x_0$ [/mm] bei $n [mm] \to \infty$ [/mm] erfüllt, gilt:
[mm] $f(x_n) \to [/mm] G$ bei $n [mm] \to \infty$ [/mm]
(Wobei Du dazu noch eine kleine Bemerkung ganz unten findest, hier sollte nämlich noch gefordert sein, dass [mm] $x_0$ [/mm] ein HP von [mm] $D_f$ [/mm] ist.)
Kannst Du versuchen, diese Äquivalenz zu beweisen? Vielleicht mal ein paar Beispiele zum Verständnis, die Begründungen solltest Du selbst liefern können, wenn Du es verstanden hast:
Sei [mm] $f(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } x > 0 \\ -1, & \mbox{für } x < 0 \end{cases}$
[/mm]
f hat hier keinen Grenzwert an der Stelle [mm] $x_0$ [/mm] (beachte, dass nicht gefordert wird, dass [mm] $x_0 \in D_f$).
[/mm]
Sei [mm] $f(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } x > 0 \\ 0, & \mbox{für } x=0 \\ 1, & \mbox{für } x < 0 \end{cases}$
[/mm]
f hat an der Stelle [mm] $x_0=0$ [/mm] den Grenzwert $1$.
(Beachte aber, dass f nicht!!! stetig in [mm] $x_0=0$ [/mm] ist.)
Nun betrachten wir [mm] $f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x < 0 \\ x^2, & \mbox{für } x > 0 \end{cases}$
[/mm]
f hat an der Stelle [mm] $x_0$ [/mm] den Grenzwert $0$. (f kann man hier sogar stetig an 0 mit $f(0):=0$ fortsetzen).
Und am dem vorletzten Beispiel siehst Du:
Dieser Grenzwert kann auch existieren, wenn f in [mm] $x_0$ [/mm] unstetig ist. Ist allerdings f stetig in [mm] $x_0$, [/mm] so existiert dieser Grenzwert $G$ (wobei man vielleicht besser [mm] $G=G(x_0)$ [/mm] schreiben würde) und es ist dann [mm] $G=f(x_0)$.
[/mm]
Was mich ein wenig irritiert:
Habt ihr nicht einen Zusatz, dass der Punkt [mm] $x_0$ [/mm] ein Häufungspunkt des Definitionsbereiches von $f$ sein soll?
Übrigens, damit wir Missverständnissen vorbeugen:
http://www.mathematik.uni-trier.de/~mueller/AnalysisI-IV.pdf
Ich orientiere mich da an Definition 10.4
Es kann durchaus sein, dass bei Deiner Definition etwas anders ist, dann müsstest Du das ergänzen bzw. mir mitteilen, denn dann müssten wir uns die Beispiele oben nochmal genauer mit Eurer Definition angucken, dann würde das evtl. so nicht mehr stimmen, wie ich es gesagt habe...
Vielleicht noch eine Bemerkung:
Deine Definition, wenn da gar nichts über [mm] $x_0$ [/mm] weiter gefordert wird, ist natürlich dann ein wenig allgemeiner, als die, wo man fordert, dass [mm] $x_0$ [/mm] ein Häufungspunkt von [mm] $D_f$ [/mm] ist. Die obige Äquivalenz gilt jedenfalls im Falle, dass [mm] $x_0$ [/mm] ein Häufungspunkt von [mm] $D_f$ [/mm] ist.
Denn:
Wenn man keine weitere Forderung an [mm] $x_0$ [/mm] stellt, so kann man auch in sinnvoller Weise folgende Funktion betrachten:
[mm] $f(x)=\begin{cases} x, & \mbox{für } x>1 \\ 1, & \mbox{für } x < -1 \end{cases}$
[/mm]
Diese Funktion hätte nach Eurer Definition, wenn nichts weiter für [mm] $x_0$ [/mm] gefordert wird, zum Beispiel in [mm] $x_0=0$ [/mm] den Grenzwert $1$:
Ist nämlich [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$, so betrachten wir alle x mit [mm] $-\delta [/mm] < x < [mm] \delta$ [/mm] mit $x < -1 $ oder $x > 1$ , wobei [mm] $\delta:=1+\varepsilon$. [/mm]
Diese erfüllen alle $|f(x)-1| < [mm] \delta-1=\varepsilon$.
[/mm]
Wenn ich nun in die Definition mit den Folgen gucke, so macht es aber hier keinen Sinn, hier von einem Grenzwert der Funktion $f$ in der Stelle [mm] $x_0$ [/mm] zu sprechen, weil es gar keine Folge im Definitionsbereich von $f$ gibt, die gegen [mm] $x_0=0$ [/mm] konvergiert.
Gruß,
Marcel
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