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| Aufgabe | Für n [mm] \in \IN [/mm] seien die Funktionen [mm] f_{n}: \IR \backslash \{0\} \to \IR [/mm] gegeben durch:
[mm] f_{n}(x) [/mm] = [mm] \bruch{3-\wurzel{x^{2}+9}}{x^{n}}
[/mm]
Berechnen Sie die beiden einseitigen Grenzwerte
[mm] \limes_{x\rightarrow\0-}f_{n}(x) [/mm] ( lim x [mm] \rightarrow [/mm] 0-)
und
[mm] \limes_{x\rightarrow\0+}f_{n}(x) [/mm] ( lim x [mm] \rightarrow [/mm] 0+)
für alle n. Für welche n lässt sich [mm] f_{n} [/mm] auf ganz [mm] \IR [/mm] stetig fortsetzen? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo!
ich brauche wieder mal Hilfe.
Ich habe versucht den Grenzwert von [mm] \limes_{x\rightarrow\0-}f_{n}(x) [/mm] auszurechnen.
Folgenden Ansatz hab ich:
[mm] f_{n}(x) [/mm] = [mm] \bruch{3-x^{2}*\wurzel{1+\bruch{9}{x^{2}}}}{x^{n}}
[/mm]
Was bedeutet nun lim x [mm] \rightarrow [/mm] 0- ? Läuft x von 0 bis [mm] -\infty?
[/mm]
Hat es Sinn das [mm] x^{2} [/mm] so auszuklammern?
Wie gehe ich weiter vor?
Danke im Voraus!
Lg
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Hallo,
> Für n [mm]\in \IN[/mm] seien die Funktionen [mm]f_{n}: \IR \backslash \{0\} \to \IR[/mm]
> gegeben durch:
>
> [mm]f_{n}(x)[/mm] = [mm]\bruch{3-\wurzel{x^{2}+9}}{x^{n}}[/mm]
>
> Berechnen Sie die beiden einseitigen Grenzwerte
> [mm]\limes_{x\rightarrow\0-}f_{n}(x)[/mm] ( lim x [mm]\rightarrow[/mm]
> 0-)
> und
> [mm]\limes_{x\rightarrow\0+}f_{n}(x)[/mm] ( lim x [mm]\rightarrow[/mm]
> 0+)
> für alle n. Für welche n lässt sich [mm]f_{n}[/mm] auf ganz [mm]\IR[/mm]
> stetig fortsetzen?
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo!
> ich brauche wieder mal Hilfe.
>
> Ich habe versucht den Grenzwert von
> [mm]\limes_{x\rightarrow\0-}f_{n}(x)[/mm] auszurechnen.
>
> Folgenden Ansatz hab ich:
>
> [mm]f_{n}(x)[/mm] =
> [mm]\bruch{3-x^{2}*\wurzel{1+\bruch{9}{x^{2}}}}{x^{n}}[/mm]
>
> Was bedeutet nun lim x [mm]\rightarrow[/mm] 0- ? Läuft x von 0 bis [mm]-\infty?[/mm]
Nein x läuft gegen 0, aber von unten. Also [mm]x\to 0^-[/mm] bedeutet: [mm]x\to 0, x<0[/mm]
Entsprechend [mm]x\to 0^+[/mm]: [mm]x\to 0, x>0[/mm]
> Hat es Sinn das [mm]x^{2}[/mm] so auszuklammern?
Ich sehe so nicht, wie dich das weiterbringen sollte ...
Bei direktem Grenzübergang [mm]x\to 0^+/0^-[/mm] erhältst du den unbestimmten Ausdruck [mm]\frac{0}{0}[/mm]
Da könnte doch die Regel von de l'Hôpital helfen ...
Wende die mal an, dann kannst du schon so einiges sagen in Bezug auf die Aufgabenstellung ..
>
> Wie gehe ich weiter vor?
>
> Danke im Voraus!
>
> Lg
Gruß
schachuzipus
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Danke für deine Antwort.
Das heißt x läuft einmal von [mm] -\infty [/mm] bis 0 und einmal von [mm] \infty [/mm] bis 0?
Die Regel von l'Hôpital darf ich für diese Aufgabe noch nicht anwenden, da wir sie noch nicht durchgemacht haben.
Eigentlich muss ich den Grenzwert ja nur für x = 0 ausrechnen oder?
Dann krieg ich ja [mm] \bruch{0}{0} [/mm] raus. Heißt das, es gibt keinen Grenzwert?
Gibt es noch eine andere Möglichkeit als die Regel von l'Hôpital?
Lg
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Hallo dreamweaver,
> Danke für deine Antwort.
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> Das heißt x läuft einmal von [mm]-\infty[/mm] bis 0 und einmal von
> [mm]\infty[/mm] bis 0?
>
> Die Regel von l'Hôpital darf ich für diese Aufgabe noch
> nicht anwenden, da wir sie noch nicht durchgemacht haben.
>
> Eigentlich muss ich den Grenzwert ja nur für x = 0
> ausrechnen oder?
>
> Dann krieg ich ja [mm]\bruch{0}{0}[/mm] raus. Heißt das, es gibt
> keinen Grenzwert?
>
> Gibt es noch eine andere Möglichkeit als die Regel von
> l'Hôpital?
Ja, die gibt es.
Das Stichwort hier heisst: 3. binomische Formel
>
> Lg
Gruss
MathePower
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Tut mir leid aber ich komm nicht drauf.
Soll ich jetzt den gesamten Zähler unter Zuhilfenahme der 3. binomischen Formel umformen oder nur das was unter der Wurzel steht?
Laut Definition also [mm] a^{2}-b^{2} [/mm] kann ich ja nur den gesamten Zähler umformen. In meinem Fall ist 3 dann [mm] a^{2} [/mm] und [mm] \wurzel{a^{2}+9} [/mm] dann [mm] b^{2} [/mm] oder?
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Hallo dreamweaver,
> Tut mir leid aber ich komm nicht drauf.
>
> Soll ich jetzt den gesamten Zähler unter Zuhilfenahme der
> 3. binomischen Formel umformen oder nur das was unter der
> Wurzel steht?
>
> Laut Definition also [mm]a^{2}-b^{2}[/mm] kann ich ja nur den
> gesamten Zähler umformen. In meinem Fall ist 3 dann [mm]a^{2}[/mm]
> und [mm]\wurzel{a^{2}+9}[/mm] dann [mm]b^{2}[/mm] oder?
>
Ja.
Genau das sollst Du machen, und dabei den Nenner nicht vergessen,
auch mit demselben Fakor wie den Zähler zu erweitern.
Gruss
MathePower
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Gut ich habs jetzt erweitert und hab folgendes dastehen:
[mm] \bruch{(\wurzel{3}-\wurzel{\wurzel{x^{2}+9}})*(\wurzel{3}+\wurzel{\wurzel{x^{2}+9}})}{x^{n}}
[/mm]
Ich bezweifle allerdings stark, dass meine Umformung richtig ist, und du das gemeint hast oder?
Was soll ich mit dem Nenner machen? Ich verstehs nicht.
Lg
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Hallo dreamweaver,
> Gut ich habs jetzt erweitert und hab folgendes dastehen:
>
> [mm]\bruch{(\wurzel{3}-\wurzel{\wurzel{x^{2}+9}})*(\wurzel{3}+\wurzel{\wurzel{x^{2}+9}})}{x^{n}}[/mm]
>
> Ich bezweifle allerdings stark, dass meine Umformung
> richtig ist, und du das gemeint hast oder?
Ich hab das so gemeint:
[mm]\bruch{3-\wurzel{x^{2}+9}}{x^{n}}*\bruch{3+\wurzel{x^{2}+9}}{3+\wurzel{x^{2}+9}}[/mm]
>
> Was soll ich mit dem Nenner machen? Ich verstehs nicht.
>
Siehe oben.
> Lg
Gruss
MathePower
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Ok danke, wieder etwas dazugelernt :).
Aber was bringt mir diese Form nun?
Diese Rechnung macht mich fertig.
Also, zuerst muss ich ja mal schaun wie sich der Term verhält wenn x von [mm] -\infty [/mm] bis 0 und von [mm] +\infty [/mm] bis 0 geht oder?
In meinem Fall konvergiert der Term immer gegen 0. Bei [mm] +\infty [/mm] bis 0 wird der negative Wert immer größer und konvergiert schließlich zu 0 und bei [mm] -\infty [/mm] bis 0 wird der postive Wert immer kleiner und konvergiert schließlich zu 0.
Kann ich also sagen, dass der Grenzwert 0 ist?
Was bringt mir die erweiterte Form?
Vielen Dank das ihr so viel Gedult mit mir habt.
Lg
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Hallo dreamweaver,
> Ok danke, wieder etwas dazugelernt :).
>
> Aber was bringt mir diese Form nun?
>
> Diese Rechnung macht mich fertig.
>
> Also, zuerst muss ich ja mal schaun wie sich der Term
> verhält wenn x von [mm]-\infty[/mm] bis 0 und von [mm]+\infty[/mm] bis 0
> geht oder?
>
> In meinem Fall konvergiert der Term immer gegen 0. Bei
> [mm]+\infty[/mm] bis 0 wird der negative Wert immer größer und
> konvergiert schließlich zu 0 und bei [mm]-\infty[/mm] bis 0 wird
> der postive Wert immer kleiner und konvergiert schließlich
> zu 0.
> Kann ich also sagen, dass der Grenzwert 0 ist?
Generell kannst Du das nicht sagen.
>
> Was bringt mir die erweiterte Form?
Dazu berechne erstmal den Ausdruck
[mm]\bruch{3-\wurzel{x^{2}+9}}{x^{n}}\cdot{}\bruch{3+\wurzel{x^{2}+9}}{3+\wurzel{x^{2}+9}} [/mm]
Das ergibt:
[mm]\bruch{3^{2}-\left(\wurzel{x^{2}+9}\right)^{2}}{x^{n}*\left(3+\wurzel{x^{2}+9} \right)} =\bruch{9-\left({x^{2}+9}\right)}{x^{n}*\left(3+\wurzel{x^{2}+9} \right)}=\bruch{-x^{2}}{x^{n}*\left(3+\wurzel{x^{2}+9} \right)}[/mm]
Daraus erkennst Du, daß es mehrere Fälle gibt:
i) [mm]n\le 2[/mm]
ii) [mm]n > 2[/mm]
Die musst Du jetzt einzeln behandeln.
>
> Vielen Dank das ihr so viel Gedult mit mir habt.
>
> Lg
Gruss
MathePower
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> Hallo dreamweaver,
>
>
> > Ok danke, wieder etwas dazugelernt :).
> >
> > Aber was bringt mir diese Form nun?
> >
> > Diese Rechnung macht mich fertig.
> >
> > Also, zuerst muss ich ja mal schaun wie sich der Term
> > verhält wenn x von [mm]-\infty[/mm] bis 0 und von [mm]+\infty[/mm] bis 0
> > geht oder?
> >
> > In meinem Fall konvergiert der Term immer gegen 0. Bei
> > [mm]+\infty[/mm] bis 0 wird der negative Wert immer größer und
> > konvergiert schließlich zu 0 und bei [mm]-\infty[/mm] bis 0 wird
> > der postive Wert immer kleiner und konvergiert schließlich
> > zu 0.
> > Kann ich also sagen, dass der Grenzwert 0 ist?
>
>
> Generell kannst Du das nicht sagen.
Aber stimmt es in diesem Fall auch nicht?
>
>
> >
> > Was bringt mir die erweiterte Form?
>
>
> Dazu berechne erstmal den Ausdruck
>
> [mm]\bruch{3-\wurzel{x^{2}+9}}{x^{n}}\cdot{}\bruch{3+\wurzel{x^{2}+9}}{3+\wurzel{x^{2}+9}}[/mm]
>
> Das ergibt:
>
> [mm]\bruch{3^{2}-\left(\wurzel{x^{2}+9}\right)^{2}}{x^{n}*\left(3+\wurzel{x^{2}+9} \right)} =\bruch{9-\left({x^{2}+9}\right)}{x^{n}*\left(3+\wurzel{x^{2}+9} \right)}=\bruch{-x^{2}}{x^{n}*\left(3+\wurzel{x^{2}+9} \right)}[/mm]
>
> Daraus erkennst Du, daß es mehrere Fälle gibt:
>
> i) [mm]n\le 2[/mm]
>
> ii) [mm]n > 2[/mm]
>
> Die musst Du jetzt einzeln behandeln.
>
>
Wie erkenne ich daraus, dass es mehrere Fälle gibt?
Gibt es nicht nur die Fälle für n = gerade und n = ungerade?
Lg
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Hallo dreamweaver,
> > > Kann ich also sagen, dass der Grenzwert 0 ist?
> >
> > Generell kannst Du das nicht sagen.
>
> Aber stimmt es in diesem Fall auch nicht?
Das hängt von n ab. Das ist der eigentliche Witz der Aufgabe.
> > Das ergibt:
> >
> >
> [mm]\bruch{3^{2}-\left(\wurzel{x^{2}+9}\right)^{2}}{x^{n}*\left(3+\wurzel{x^{2}+9} \right)} =\bruch{9-\left({x^{2}+9}\right)}{x^{n}*\left(3+\wurzel{x^{2}+9} \right)}=\bruch{-x^{2}}{x^{n}*\left(3+\wurzel{x^{2}+9} \right)}[/mm]
>
> >
> > Daraus erkennst Du, daß es mehrere Fälle gibt:
> >
> > i) [mm]n\le 2[/mm]
> >
> > ii) [mm]n > 2[/mm]
> >
> > Die musst Du jetzt einzeln behandeln.
> >
> >
>
> Wie erkenne ich daraus, dass es mehrere Fälle gibt?
Na, im Zähler steht [mm] x^2, [/mm] im Nenner [mm] x^n. [/mm] Bedenke, dass x nie Null wird (es läuft nur so nahe an Null heran wie überhaupt denkbar), Du darfst also kürzen. Und dann ist die Frage, wo nach dem Kürzen noch eine Potenz von x steht. Dabei ist die in der Wurzel nicht mehr interessant, weil sie keinen Einfluss auf den Grenzübergang haben wird.
Für n<2 bleibt eine x-Potenz im Zähler.
Für n=2 bleibt keine x-Potenz übrig. (wie gesagt, außer in der Wurzel)
Für n>2 bleibt eine x-Potenz im Nenner.
Die ersten beiden Fälle haben ein eng verwandtes Ergebnis, darum hat MathePower sie zu einem zusammengezogen.
Auf der sicheren Seite bist Du aber immer, wenn Du an einer solchen "kritischen" Stelle in die drei Fälle <,=,> unterteilst. Meist siehst Du schon im Verlauf der Rechnung, was da zusammenzulegen ist.
> Gibt es nicht nur die Fälle für n = gerade und n =
> ungerade?
Nein, das macht hier keinen Unterschied.
Grüße
reverend
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Alles klar danke.
Also hab ich nun folgende Fälle:
n = 2 =>
[mm] \bruch{-1}{3+\wurzel{x^{2}+9}}
[/mm]
geht gegen 0
n < 2 =>
[mm] \bruch{-x}{3+\wurzel{x^{2}+9}}
[/mm]
geht gegen unendliche
n > 2 =>
[mm] \bruch{-x^{2}}{x^{n}*(3+\wurzel{x^{2}+9})}
[/mm]
geht gegen 0
Stimmt das so?
Was mache ich jetzt?
Lg
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Aja stimmt, habs mir zwar richtig ausgedacht, aber falsch aufgeschrieben.
Vielen vielen Dank für die Geduld!!
Lg
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Nö. Geht für beide Annäherungen gegen den gleichen Grenzwert [mm] \not=0.
[/mm]![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
