Grenzwert einer Funktion < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:22 Mo 30.05.2011 | | Autor: | nhard |
| Aufgabe | Bestimmen sie jeweils den Grenzwert von $f$ in [mm] $x_0$ [/mm] und begründen sie ihr Ergebnis:
(a)Sei [mm] $f:\IR \setminus \left\{1\right\} \to \IR$ [/mm] definiert durch [mm] $f(x):=\bruch{x^n-1}{x-1}$ [/mm] und sei [mm] $x_0:=1$
[/mm]
(b)Sei $f:(-1,1) [mm] \to \IR$ [/mm] definiert durch [mm] $f(x):=\bruch{x-1}{x^2-1}$ [/mm] und sei [mm] $x_0:=-1$ [/mm] bzw. [mm] $x_0:=1$.
[/mm]
(Metrik: [mm] $d_s(x,y):=|x-y|$) [/mm] |
Habe leider erst einen mini Ansatz für die (a)
Ich muss doch zeigen:
Für alle [mm] $\epsilon [/mm] >0$ ex. ein [mm] $\delta [/mm] >0$ mit: [mm] $|f(x)-y_0|<\epsilon$ [/mm] für alle [mm] $|x-x_0|<\delta$
[/mm]
Meine vermuteter Grenzwert:
[mm] $y_0=n$
[/mm]
Jetzt weiß ich:
[mm] $f(x)=\bruch{x^n-1}{x-1}=1*\summe_{i=0}^{n-1}x^i$
[/mm]
Wenn jetzt [mm] $x\to [/mm] 1$ ist ja eigentlich klar, dass der Grenzwert n ist.
Aber wie kann ich das denn am besten mit der Epsilon/Delta Geschichte zeigen?
Der Anfang wäre ja irgendwie:
[mm] $|f(x)-y_0|=|\summe_{i=0}^{n-1}x^i-n|$
[/mm]
Ist es sinnvoll zu versuchen durch [mm] $\le$-Umformungen [/mm] auf $|x-n|$ zu kommen um dann die geforderte Bedingung zu zeigen?
Weiß leider nicht wirklich wie ich das angehen soll.
Wäre für einen Anstoß dankbar!
Danke und lg!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:27 Mo 30.05.2011 | | Autor: | SolRakt |
Hallo, nhard
Irgendwie ist das doch die Definition für die Stetigkeit ;)
Mach bei der a) zunächst mal Polynomdivision. Und dann ist der Rest ganz leicht. Aber mach erstmal die PD.
Kannst du bei der b) die Funktion nochmal "ordentlich" aufschreiben? :) Da steht x.1???
Gruß SolRakt
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:42 Mo 30.05.2011 | | Autor: | nhard |
Danke für den Hinweis, habe es verbessert ;)
Hm, PD, dachte ich hätte das mit
"$ [mm] f(x)=\bruch{x^n-1}{x-1}=1\cdot{}\summe_{i=0}^{n-1}x^i [/mm] $"
schon gemacht?
ohje :( ...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:49 Mo 30.05.2011 | | Autor: | SolRakt |
Hmm..stimmt, hast du anscheinend gemacht, aber schreibs besser ohne die Summe, dann sieht man den Rest leichter (finde ich)
Also: [mm] (x^{n}-1) [/mm] : (x-1) = [mm] x^{n-1} [/mm] + [mm] x^{n-2} [/mm] + ... + 1
Am Ende bleiben da insgesamt n Summanden stehn. Siehst du das? Wenn nicht, dann mach die PD mit n=4. dann siehst du, dass 4 Summanden rauskommen. Bei n= 6 kämen 6 Summanden raus. Also bei n müssen dann folglich n Summanden dastehn. Könnte man mit Induktion beweisen (aber das sollst du hier nicht, keine Sorge. ;) . Du darfst das hier ruhig annehmen)
Jetzt darfst du dein x gegen 1 gehen lassen. Was kommt dann raus? ;)
Bei der b) bitte mal den Tipp von schachuzipus beachten. Ich muss da jetzt selbst mal schaun ;)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:53 Mo 30.05.2011 | | Autor: | nhard |
Jo, sehe ich ein, sind immer n-Summanden.
Geht jetzt mein x gegen 1 dann ergibt das ja gerade n*1=n.
Deswegen hatte ich ja auch vermutet, dass der Grenzwert n ist.
Aber reicht das schon, dass so zu zeigen?
lg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:58 Mo 30.05.2011 | | Autor: | SolRakt |
> Geht jetzt mein x gegen 1 dann ergibt das ja gerade n*1=n.
Genau so ist es. Gut :)
> Aber reicht das schon, dass so zu zeigen?
Ich hatte damals dieselbe Aufgabe und hatte dafür volle Punktzahl ;) Also sollte das schon ausreichen. Wie gesagt, man könnte es ja mit Induktion beweisen und dann ist ja keine bloße Behauptung mehr ;) Von daher ist das alles schon in Ordnung. Die Induktion brauchst du aber nicht machen, bin mir da ziemlich sicher. Lange Rede, kurzer Sinn. Lass es so ;)
so, ich schau mir die b) an :)
|
|
|
| |
|
Hallo nhard,
bei b) hilft die dritte binomische Formel
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:48 Mo 30.05.2011 | | Autor: | nhard |
hey danke für deinen Tipp, hatte ich auch schon gemerkt:
[mm] $\bruch{x-1}{x^2-1}=\bruch{x-1}{(x-1)(x+1)}=\bruch{1}{x+1}$
[/mm]
Aber weiter bin ich auch noch nicht gekommen :(
Aber wollte erstmal die (a) versuchen, habe irgendwie das Gefühl, was grundelegendes nicht zu verstehen :(
lg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:59 Mo 30.05.2011 | | Autor: | SolRakt |
Habt ihr die Ableitung des Logarithmus schon gehabt?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:10 Mo 30.05.2011 | | Autor: | nhard |
hm, Logarithmus hatten wir noch nicht..
Mein Idee:
habe ja als Funktion:
[mm] $f(x)=\bruch{1}{x+1}$
[/mm]
Für den Grenzwert im Punkt [mm] $x_0=1$ [/mm] würde ja [mm] $\bruch{1}{2}$ [/mm] herauskommen.
Für den Grenzwert im Punkt [mm] $x_0=-1$ [/mm] wäre der Grenzwert [mm] $+\infty$ [/mm]
Bin aber irgendwie immer noch skeptisch, ob ich das nicht alles präziser begründen muss :P
lg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:15 Mo 30.05.2011 | | Autor: | SolRakt |
> Mein Idee:
Eine GUTE Idee :)
> Für den Grenzwert im Punkt $ [mm] x_0=1 [/mm] $ würde ja $ [mm] \bruch{1}{2} [/mm] $ herauskommen.
Ja, das kannst du hier locker machen, da es definiert ist ;)
> Für den Grenzwert im Punkt $ [mm] x_0=-1 [/mm] $ wäre der Grenzwert $ [mm] +\infty [/mm] $
Hmm..ich würde es auch so machen, bin mir aber hier auch nicht ganz sicher. Du könntest sagen, dass der nenner gegen 0 geht und somit das Ganze gegen [mm] \infty. [/mm] Da die oben im Zähler keine Variable mehr stehn hast, die entgegen wirken könnte, dürfte das gehn.
Formal kannst du substituieren. Sei z:=x+1
für x gegen -1 geht z gegen 0, also auch [mm] \bruch{1}{z} [/mm] gegen unendlich.
Habt ihr das denn schon bewiesen, dass ein Bruch gegen unendlich geht, wenn der Nenner gegegn 0 geht? Müsstet ihr eigentlich.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:20 Mo 30.05.2011 | | Autor: | nhard |
Jo haben wir letztes Semester bei Konvergenz von Folgen.
Dachte aber deswegen auch, dass man bei Grenzwerten von Funktionen nicht so "einfach" Argumentieren kann?
lg
|
|
|
| |
|
Hallo zusammen,
so pauschal stimmt die Aussage [mm]\frac{1}{x+1}\longrightarrow\infty[/mm] für [mm]x\to -1[/mm] nicht.
Hier ist genauer rechtsseitiger und linksseitiger Limes zu unterscheiden.
Vom links kommend strebt das Biest gegen [mm]-\infty[/mm], von rechts kommend gegen [mm]+\infty[/mm], kann also nicht stetig fortgesetzt werden.
Bei [mm]x=-1[/mm] liegt ein Pol vor.
(es genügt für Unstetigkeit schon, dass einer der halbseitigen GW nicht existiert (bzw. [mm]\pm\infty[/mm] ist))
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:29 Mo 30.05.2011 | | Autor: | nhard |
D.h. auch, dass der Grenzwert nicht existieren?
Denn der ex. doch gdw der linksseitge Grenzwert gleich dem rechtsseitigen Grenzwert ist, oder?
lg
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> D.h. auch, dass der Grenzwert nicht existieren? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Genau!
>
> Denn der ex. doch gdw der linksseitge Grenzwert gleich dem
> rechtsseitigen Grenzwert ist, oder?
So ist es.
Da schon zB. der rechtsseitige nicht existiert (im eigentlichen Sinne), kannst du auch nix stetig fortsetzen.
Im Graphen macht sich das bemekbar dadurch, dass bei $x=-1$ eine Postelle ist, bei $x=1$ aber nur ein "Löchlein"
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:38 Mo 30.05.2011 | | Autor: | nhard |
Aber laut Definition der Folge kann es doch eigentl. gar keinen linksseitigen Grenzwert geben [mm] ($x\in [/mm] (-1,1)$) ?
lg
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Aber laut Definition der Folge kann es doch eigentl. gar
> keinen linksseitigen Grenzwert geben ([mm]x\in (-1,1)[/mm]) ?
Ok, du hast recht, das habe ich überlesen und dachte automatisch an [mm] $x\in\IR\setminus\{\pm 1\}$ [/mm] als Definitionsbereich!
Sorry für die Verwirrung!
Dann kannst du natürlich an den Intervallrändern nur einseitige Grenzwerte untersuchen.
Bleibt festzuhalten [mm] $f(x)\longrightarrow [/mm] 1/2$ für [mm] $x\to [/mm] 1^-$
und [mm] $f(x)\longrightarrow \infty$ [/mm] für [mm] $x\to [/mm] -1^+$
>
>
> lg
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:50 Fr 03.06.2011 | | Autor: | nhard |
Danke für deine Hilfe!!
|
|
|
|
